massa inerziale e gravitazionale

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La massa inerziale è quella che compare nella II legge della dinamica,
La massa gravitazionale invece è quella che compare nella legge di gravitazione universale,

La legge di gravitazione però viene ottenuta sostituendo l'espressione che si ricava per l'accelerazione del corpo in. Quindi nella legge di gravitazione è sempre la massa inerziale...perchè si dice che non è così e che la massa che compare è un altro tipo di massa, quella gravitazionale?

[Pigkappa]

È un fatto sperimentalmente accertato che la massa inerziale e la massa gravitazionale siano uguali, con grande precisione. Il principio di equivalenza (che non è conseguenza del resto della teoria, ma un principio a parte) dice proprio questo. Molti testi non fanno neanche differenza tra le due.

Il fatto che queste due grandezze siano la stessa cosa è in un certo senso un po' sorprendente, e non ci sono motivi a priori per dire che sia vero. Se ricordo bene, è sperimentalmente provato che sono uguali almeno con precisione di . Ci sono esperimenti in corso per arrivare ad una precisione di . Qualcosa forse lo trovi a partire da http://eotvos.dm.unipi.it/homenobili.html.

[Ippo]

La legge di gravitazione però viene ottenuta sostituendo l'espressione che si ricava per l'accelerazione del corpo in.

Non so se ho capito cosa intendi, ma mi sembra che tu dica una cosa tipo: "io in realtà misuro l'accelerazione gravitazionale di un corpo, ci metto davanti la sua massa inerziale, affermo (2° principio) che questa è la forza gravitazionale e poi mi ritrovo una legge di forza in cui chiamo la vecchia massa inerziale massa gravitazionale: sto barando".
In realtà, a parte il fatto che se questo discorso vale per non vale per (cioè il campo gravitazionale dipende effettivamente da una grandezza del corpo 2 che coincide "per caso" con la sua massa inerziale, e che possiamo chiamare "massa gravitazionale" senza barare), esistono i dinamometri: si può misurare la forza agente su un corpo senza prendere la sua accelerazione e usare il 2° principio, vedi l'esempio classico di una molla che permette di ricavare la forza dall'elongazione tramite la costante elastica, . Qui non compare nessuna massa.

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Non so se ho capito cosa intendi, ma mi sembra che tu dica una cosa tipo: "io in realtà misuro l'accelerazione gravitazionale di un corpo, ci metto davanti la sua massa inerziale, affermo (2° principio) che questa è la forza gravitazionale e poi mi ritrovo una legge di forza in cui chiamo la vecchia massa inerziale massa gravitazionale: sto barando".

Si, intendevo ciò che hai detto.

Per arrivare alla legge di gravitazione Newton suppone l'orbita dei pianeti circolare.
Questi quindi devono essere soggetti a una accelerazione centripeta, pari a
Poichè per la legge di Keplero sappiamo che possiamo scrivere



Ora, il passo critico in questione: la forza centripeta che agisce sul corpo deve essere evidentemente (II principio, m=massa inerziale), quindi


Se questa è la forza che il sole esercita sul pianeta, per il principio di azione-reazione la forza che esercita il pianeta sul sole è uguale in modulo, quindi



Da questa uguaglianza, ponendo otteniamo la legge di gravitazione, in modulo , dove entrambe le masse quindi sono masse inerziali.

A partire da questa espressione della forza poi si definisce il campo gravitazionale tale che risulti



dove è sempre quella di prima, massa inerziale.

Quindi, si 'bara' per entrambe le masse quando si dice che nell'espressione della legge di gravitazione le grandezze che compaiono sono concettualmente diverse perchè si tratta di masse gravitazionali, no? In realtà si tratta sempre di masse inerziali!

[Pigkappa]

Da questa uguaglianza, ponendo otteniamo la legge di gravitazione, in modulo , dove entrambe le masse quindi sono masse inerziali.

Ma come fai a dire che ?

La legge di Keplero si scrive come dove ho messo le g al pedice per indicare che si tratta di masse gravitazionali. Quindi la cosa che tu hai chiamato dipende dalle masse gravitazionali, non da quelle inerziali.

[EDIT: si è poi scoperto che è sbagliata; è giusta se le masse inerziali e gravitazionali sono uguali, ma se non lo sono la legge di Keplero diventa più complicata]

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Dall'uguaglianza si ha:



da cui ponendo si ottiene

La legge di Keplero si scrive come dove ho messo le g al pedice per indicare che si tratta di masse gravitazionali. Quindi la cosa che tu hai chiamato dipende dalle masse gravitazionali, non da quelle inerziali.

Quel che compare nelle formule scritte è il rapporto costante tra il quadrato del periodo di rivoluzione del pianeta e il cubo del semiasse maggiore dell'orbita ellittica percorsa dal pianeta.

La legge di Keplero la conosco in questo modo...mai vista nella forma che hai appena scritto, anzi, ne potresti specificare i simboli? w cosa rappresenta? G è lo stesso che ho inteso io? Perchè non si trova mai scritta in questo modo? (Scusa la raffica di domande!)

In ogni caso, dato che come mi hai appena detto quel dipende dalle masse gravitazionali, con riferimento alle legge di gravitazione si dovrebbe dire che è la costante di gravitazione universale che dipende dalle masse gravitazionali e non che le masse che compaiono nella legge di gravitazione sono masse gravitazionali perchè in realtà sono masse inerziali, no?

[Pigkappa]

La legge di Keplero la conosco in questo modo...mai vista nella forma che hai appena scritto, anzi, ne potresti specificare i simboli? w cosa rappresenta? G è lo stesso che ho inteso io? Perchè non si trova mai scritta in questo modo? (Scusa la raffica di domande!)

Prendiamo due corpi di massa e soggetti alla forza gravitazionale. Allora si dimostra che il vettore che li congiunge descrive una conica (cioè una retta, una circonferenza, un'ellisse, una parabola o una iperbole). Per semplicità assumiamo sia un'ellisse; il caso circolare è un caso particolare dell'ellisse.

Allora i simboli sopra rappresentano:
la velocità angolare media.
la stessa che hai inteso tu.
il semiasse maggiore dell'ellisse.


La forma corretta per scriverla è questa. Di solito non si scrive in questa forma perchè:
1)La gente preferisce pensare a invece che a . Però questo costringe a tenersi dei fattori numerici sgradevoli.
2)Al liceo si parla poco di orbite ellittiche e tanto di orbite circolari (e si fa male).
3)Si assume sempre che si stia usando questa legge per corpi intorno al Sole, e in si trascura la massa più piccola poichè i corpi del sistema solare hanno massa piuttosto piccola rispetto a quella del Sole.
4)Si fa finta che il Sole stia fermo, così non si deve considerare che il vettore cambia perchè cambiano sia che . In prima approssimazione è corretto, perchè, nel sistema Terra-Sole, i due corpi girerebbero attorno al centro di massa del sistema, che è molto più vicino al Sole che alla Terra. Se ricordo bene, è addirittura dentro alla superficie del Sole stesso.

Quando si fanno tutte queste assunzioni implicitamente e poi si prova anche a considerare il moto del Sole (come hai fatto tu quando ne hai scritto l'accelerazione centripeta, mettendoci come la distanza Terra-Sole, mentre il vero è molto più piccolo!) viene fuori un miscuglio esplosivo che finisce in qualche contraddizione.

Chiedi pure se vuoi capire meglio come funziona il tutto; non so se è il caso di ricavare tutto dalle equazioni del moto, perchè ci vuole (come minimo) un po' di manualità con le derivate.

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Ok, ma quindi se per semplicità supponiamo l'orbita circolare, considerando la legge di Keplero nella forma da te enunciata si ha



da cui segue che mentre rappresenta una massa gravitazionale rappresenta una massa inerziale, giusto?

Chiedi pure se vuoi capire meglio come funziona il tutto; non so se è il caso di ricavare tutto dalle equazioni del moto, perchè ci vuole (come minimo) un po' di manualità con le derivate.

Se mi dai qualche hint su come procedere potrei provarci, per le derivate non è un problema.

[Pigkappa]

Ok, ma quindi se per semplicità supponiamo l'orbita circolare, considerando la legge di Keplero nella forma da te enunciata si ha



da cui segue che mentre rappresenta una massa gravitazionale rappresenta una massa inerziale, giusto?

Non ci siamo capiti del tutto. Il vettore che io avevo chiamato era quello che congiungeva Terra e Sole. Per fare le cose per bene, dobbiamo considerare che la Terra non gira attorno al Sole, ma al comune centro di massa, e quindi calcolare la distanza tra la Terra e il CDM del sistema e usare quella in . Alla fine viene un risultato diverso che ovviamente contiene un termine nella forma e non .

Comunque, magari a questa cosa (che io trovo un po' sterile; sappiamo bene che le due masse sono uguali; sappiamo che la legge di gravitazione universale di Newton è molto più fondamentale delle leggi di Keplero, che sono leggi empiriche, quindi partire da queste non è una cosa molto profonda) ci penso un po' e domani faccio il conto per far vedere che tipo di masse ci sono. Secondo me sono gravitazionali entrambe, comunque.

Se mi dai qualche hint su come procedere potrei provarci, per le derivate non è un problema.

Il modo meno pesante è quello di passare dal vettore di Lenz. Risolvi il problema olifis/phpBB3/viewtopic.php?f=12&t=493 e poi guarda il post del 27 Giugno a olifis/phpBB3/viewtopic.php?f=15&t=92 .

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Non pensavo fosse una discussione sterile. Visto che per quanto ne so i concetti di massa inerziale e gravitazionale sono stati il punto di partenza della relatività generale, volevo solo coglierne meglio il significato e l'importanza.
Comunque se nel vedere che tipo di masse sono non vengono calcoli troppo lunghi e laboriosi potresti postarli?