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Un blocco di massa e velocità iniziale urta una particella ferma di massa . Questa, messa in moto, urta contro un muro, torna indietro, urta di nuovo col blocco, cambia di nuovo direzione, poi urta di nuovo contro il muro e così via. Supponendo che tutti gli urti che avvengono siano perfettamente elastici e avvengano sempre sulla stessa retta, dimostrare che il numero di urti che intercorrono tra la particella e il blocco prima dell'arresto di quest'ultimo sono .

Nota: questo era il problema più difficile tra i 6 proposti. Ci sono vari modi di risolverlo, nessuno dei quali è banale. Provateci senza arrendervi se non vi riesce subito.

Mah, la soluzione proposta è talmente approssimata da apparire cervellotica.
Certo ho capito come c'è arrivato chi l'ha proposta, però basta scendere un po' di più coi piedi per terra, fare qualche iterazione e se ne trova una un po' più precisa, che ha anche il pregio di essere più semplice senza scomodare inutilmente il pi-greco, ovvero:

.

Sempre che io non abbia preso un grosso granchio, naturalmente...

Il pi-greco mi fa pensare ad un moto periodico, in cui il processo descritto rappresenterebbe un quarto del periodo, ovvero il passaggio da velocità massima del blocco a velocità nulla (e forza impulsiva della particella massima).
Ma non è molto ragionevole e spiegabile...

Su questo problema non son riuscito a perderci troppo tempo perchè mi vien da pensare che ci servono robe tipo sommatorie o relazioni tra situazione n-esima e n+1-esima, che non so proprio sviluppare...

CoNVeRGe. ha scritto:Su questo problema non son riuscito a perderci troppo tempo perchè mi vien da pensare che ci servono robe tipo sommatorie o relazioni tra situazione n-esima e n+1-esima, che non so proprio sviluppare...

Non è difficile trovare come variano le due velocità in un urto. Basta che imponi conservazione di quantità di moto ed energia. Usando quelle due leggi, prova a scrivere il sistema con e in funzione di e . Poi eventualmente vedo se riesco a darti un suggerimento su come andare avanti.

Dopo un'immersione nei calcoli mi escono:





Chi l'avrebbe mai detto che uscivano così 'semplici' da tutta quella roba?
In questo l'aver già visto problemi aiuta in maniera fondamentale al test, non c'è che dire.

Forse adesso si dovrebbe trovare in funzione di e porlo poi uguale a 0. (sapendo della relazione tra e )
E questo non saprei comunque farlo..

@ Converge
Giusto per puntualizzare una cosa che forse per te è scontata, le tue formule sono giuste solo se si sottintende che la e la hanno versi opposti. Insomma le tue velocità vanno prese in modulo. Le formule corrette (velocità con segno) avrebbero i segni invertiti sulle

Adesso per arrivare alla soluzione le devi però semplificare assumendo (non troppo però, altrimenti la massa grande non rallenta mai!)

La conservazione dell’energia negli urti impone che:
,
dove V e v sono le velocità di M ed m dopo un urto. Ponendo , si ottiene:

che rappresenta sul piano cartesiano una circonferenza.

Se chiamiamo con e , e le suddette grandezze dopo le collisioni di ordine n-1 ed n, si ha per la conservazione dell’energia e della quantità di moto in un generico urto:

,

.

Inoltre risulta che ,
perché i due angoli hanno vertici al centro e sulla circonferenza e nel contempo insistono sullo stesso arco CD.

Da
scaturisce che

,





.

Allora il punto rappresentativo del moto per ogni urto si sposta sulla circonferenza dello stesso arco CD che in radianti vale . Quando gli urti aumentano,
il punto sulla circonferenza passa da L a N (associati alle velocità iniziale e finale nulla di M). Pertanto per conoscere il numero n di urti basta contare quanti angoli sono contenuti in :

.

Non c’è molto tempo per risolvere questi problemi così difficili della SSN, soprattutto alla fine dell’anno scolastico quando gli impegni si moltiplicano in modo esponenziale.

pascal ha scritto: ...

Bravo, sono ammirato per la soluzione e la rappresentazione geometrica ineccepibile. Provo sempre ammirazione per chi riesce a visualizzare in questo modo soluzioni che se lasciate nella sfera astratta dell'algebra rimarrebbero poco intuitive.

Grazie