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Un contenitore è pieno di un liquido ideale. Sul fondo del contenitore viene praticato un foro di sezione $a$ molto piccola. Si sa che la forma del contenitore è quella di un solido di rotazione, e l'asse di rotazione è verticale. Determinare la forma di questo contenitore sapendo che l'altezza del fluido nel contenitore diminuisce costantemente (cioè se $H(t)$ è l'altezza del fluido nel contenitore, $\dot{H}(t) = cost$ ).

Ci ho scapocciato un po' ma alla fine ho trovato una probabile soluzione piuttosto semplicemente:

Per la continuità del flusso:
$\displaystyle AV = av$
(le lettere maiuscole son riferite alla sezione più grande)

Poichè $\displaystyle V = |\dot{h}(t)|$ e $\displaystyle h(t) = h_0 - mt$ allora $\displaystyle A = \frac{av}{m}$ .

Si assume $\displaystyle a<<A$ quindi $\displaystyle v = \sqrt{2gh}$ (dall'equazione di Bernoulli).

Ricavando $\displaystyle h(A)$ si ha $\displaystyle h = (\frac{m^2}{2ga^2}) A^2$

Il solido è di rotazione, quindi $\displaystyle A = \pi r^2$

La sezione del contenitore risulta essere la funzione $\displaystyle h (r) = K r^4$ , con K costante.

Ci puo stare?

Io ho fatto un po' diverso comunque il risultato è lo stesso.

Il volume dell'acqua che esce in un tempo $dt$ è $dV=Svdt$ ma essendo un solido di rotazione $dV=\pi r^2dh$ quindi $Svdt=\pi r^2dh$ . Cioè $\frac{dh}{dt}=\frac{Sv}{\pi r^2}$ .
Assunto $v=\sqrt{2gh}$ abbiamo che affinché sia costante $\frac{dh}{dt}$ dobbiamo avere $h(r)=Kr^4$ , con K costante.

Sì, è giusto

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Fluido in uscita da un contenitore.

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Re: Fluido in uscita da un contenitore.

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