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Considra una sfera cavadi raggio R che ha una lampadina al suo centro. La lampadina esplode,e sparge frammenti in tutte le direzioni(in 3 Dimensioni) che hanno la stessa velocità .
Tutte le collisioni sono perfettamente inelastiche. Il moto è 3-D.
Qual'è la frazione e di frammenti che si trovano nell'emisfero in basso? Disegna un grafico di e in funzione di .

Per il grafico un buon programma(funziona su tutte le piattaforme che supportano Java) http://www.geogebra.org/cms/

Provo a risolverlo.

Vista la simmetria del problema, per ogni sezione trasversale della sfera, tagliata con un piano passante per il suo centro e parallelo alla direzione lungo cui agisce l'accelerazione di gravità, abbiamo la stessa situazione. Quindi per calcolare è sufficiente analizzare la situazione in una di tali sezioni, quindi in 2-D.

Ogni frammento compie un moto parabolico. Si inserisca il problema in un sistema di assi cartesiani in cui l'asse x è perpendicolare alla verticale, e l'asse y parallelo alla direzione dell'accelerazione di gravità. Il verso dell'asse y è opposto a quello dell'accelerazione di gravità.
Al di sotto di un angolo limite tra e l'asse x, anche i frammenti che hanno una componente verticale positiva, ricadono nell'emisfero in basso, a causa del moto parabolico.
Sia tale angolo limite.

Per tale angolo limite la gittata è uguale a .

quindi:



da cui



e sarà uguale al rapporto tra gli angoli per cui i frammenti ricadono nell'emisfero in basso e l'angolo giro. quindi:



da cui:



per il grafico, assumendo


che ne dici Omar93 ? ti sembra corretto il mio ragionamento ? grazie mille in anticipo per eventuali correzioni

andreaandrea ha scritto: Al di sotto di un angolo limite tra e l'asse x, anche i frammenti che hanno una componente verticale positiva, ricadono nell'emisfero in basso, a causa del moto parabolico.
Sia tale angolo limite.

Per tale angolo limite la gittata è uguale a .

E chi ti dice che la parabola non abbia un'altra intersezione con la circonferenza ad un'ascissa compresa tra 0 e R?

andreaandrea ha scritto: e sarà uguale al rapporto tra gli angoli per cui i frammenti ricadono nell'emisfero in basso e l'angolo giro. quindi:

attento: se la velocità iniziale non è abbastanza alta, ci sono dei frammenti di vetro con un angolo maggiore di che ricadono nell'emisfero inferiore!

E per ultimo, considerare la sezione della sfera è utile per trovare eventuali angoli, ma poi devi calcolare la superficie della calotta sferica risultante!

Accidenti, hai ragione, il problema si fa più complicato di quel che sembrava. Grazie mille, fra un po' mi metto al lavoro!!

Piuttosto, qual è la frazione di calotta sferica ricoperta da frammenti? XD Io dopo dei calcoli estenuanti ho trovato



P.S: occhio alla grammatica italiana quando scrivete "qual è" XD

Comunque, dopo la valanga di calcoli che ho fatto ho trovato che:

per allora ;
per allora
per allora

Allora? = P

P.S: come si scrive "minore o uguale" e "maggiore o uguale"? XD

Incomplete93 ha scritto: per allora

Se ti fai un'immagine mentale di ciò che succede, vedrai che e raggiunge 1/2 solo per la velocità tendente al'infinito...

Per il resto, se mi dai un paio di minuti (o forse un'oretta) cerco i risultati che mi erano venuti

Ecco i miei risultati (parziali)

Per abbiamo

Per abbiamo

dove
(se ponete la velocità tendente ad infinito, infatti, viene 1\2)

Sto ancora cercando di capire cosa succede (o meglio, come si calcola) quando la velocità è compresa tra gR e 2gR

exodd ha scritto:

Incomplete93 ha scritto: per allora

Se ti fai un'immagine mentale di ciò che succede, vedrai che e raggiunge 1/2 solo per la velocità tendente al'infinito...

Per il resto, se mi dai un paio di minuti (o forse un'oretta) cerco i risultati che mi erano venuti

Sei proprio sicuro di questo??? Io no...

Aaaaaaspetta! Ma io sono partito da una considerazione, cioè che comunque avviene l'esplosione i frammenti si distribuiscono in modo uniforme (anche se è una semplificazione che potrebbe essere un po' drastica)....Se consideri il modello senza semplificazioni devo ricominciare completamente da capo......... XD nuoooooooooooooooooooooooooo