Forum OLIFIS

Una particella di massa m è costretta a muoversi in una regione di piano delimita da due pareti che formano un angolo retto. La particella subisce in ogni punto una forza diretta verso il vertice dell'angolo di intensità pari a (ad esempio la forza gravitazionale o quella elettrica), dove è la distanza dal vertice e una costante. Inizialmente essa viene lanciata contro una delle pareti ad una distanza dal vertice con una velocità diretta perpendicolarmente alla parete stessa. I rimbalzi sulle pareti sono perfettamente elastici.

a) Quali quantità si conservano nel moto della particella ?

b) Quale è la condizione sulla velocità iniziale affinche il moto della particella sia periodico? Nel caso che questa condizione sia verificata, quale è il numero massimo di rimbalzi in un periodo?

c) Si determinino nel caso di moto periodico la distanza minima e la distanza massima dal vertice raggiunte dalla particella durante il suo moto.

Provo a risolverlo.

Sia la massa della particella

a) Le quantità che si conservano sono la energia meccanica della particella (gli urti sono elastici), e il momento angolare calcolato rispetto a O.

In particolare l'energia meccanica vale, per ed qualsiasi:



Per ed qualsiasi il momento angolare, in modulo, detto l'angolo tra il vettore che unisce O alla posizione della particella, e il vettore velocità:



b) affinche il moto sia periodico è necessario che il sistema sia legato, ovvero che, definita nulla l'energia potenziale all'infinito, da cui segue:



Se le pareti non esistessero, la particella si muoverebbe, soddisfatta la condizione sopra, lungo un ellisse di fuoco O. Il moto della particella sarà determinato adesso:
nel primo tratto dalla parte di ellisse compresa nel I quadrante degli assi,
nel secondo tratto dal simmetrico del II quadrante rispetto all'asse delle ordinate,
nel terzo dal simmetrico rispetto ad O del III quadrante
nel quarto dal simmetrico attorno all'asse delle ascisse del IV quadrante.
In parole povere è sufficiente immaginare di piegare il piano lungo i due assi, come si farebbe con un foglio di carta.
Si può osservare facilmente che, per ragioni di simmetria, il primo e il quarto tratto coincidono, così come il secondo e il terzo.

Detto tutto ciò, ne segue che il numero di rimbalzi massimo, in un periodo, è 4, tanti quante le intersezioni con gli assi dell'ellisse.

c) Questa è la parte che mi ha creato più problemi, perchè alcuni risultati sono orrendi.

è noto che in un moto ellittico, il punto più vicino al fuoco è il perifelio, mentre il punto più lontano e l'afelio.
Penso che adesso si debbano fare due casi: il caso in cui il punto di ascissa è "l'apocentro" e il caso in cui è il "pericentro". i risultati sono interscambiabili:
- se è il pericentro la distanza minima è e la distanza massima è (la calcolerò in seguito)
- se è l'apocentro la distanza massima è e la distanza minima è

Ovviamente quale delle due situazioni si verifichi, dipende da e da
Ora se la forza che agisce sul corpo, che si trova inizialmente in vale esattamente:

Il moto è circolare uniforme.

Ciò accade se

Se invece , il corpo tenderà ad allontanarsi da O e sarà conseguentemente il pericentro.

Se infine , il corpo tenderà ad avvicinarsi ad O e sarà conseguentemente l'apocentro.

Calcolo ora
Sia la velocità del corpo per

Imposto il sistema di conservazione di e di



Come risultato ottengo:

Sia l'energia potenziale iniziale della particella.

Sia l'energia cinetica iniziale della particella.
Sia



Che ne dite? vi convince come soluzione ? Datemi il vostro parere, perchè secondo me esiste un modo più semplice di scrivere D.

Si chiama perielio e non perifelio!

Quando si parla di un corpo in moto intorno ad un altro, comunque, si parla anzi di pericentro ed apocentro. Perielio ed afelio (afelio, non apofelio!) si usano per il Sole.

La a) va bene.

La b) va bene a parte che nella condizione andava invece che .

La c) è incompleta e ti invito a completarla. Devi dare una condizione su e che serva a capire se all'inizio il corpo è nel pericentro o nell'apocentro.

Grazie mille, mi metto subito al lavoro!


Ho modificato il messaggio, adesso il punto c) è completo ? e soprattutto il completamento è corretto ? Pigkappa grazie mille dell'aiuto

Sì, adesso va bene. Puoi provare a scrivere in base ai dati che ti danno e vedere se si semplifica un po', ma credo di no.

Un modo più facile per trovare potrebbe essere quello di usare che dove è l'energia e il semiasse maggiore; però il modo più facile per ricavarla se non la si conosce è imporre la conservazione di e di , che è quello che hai fatto tu.