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Qualcuno di voi potrebbe postare la dimostrazione della formula del raggio di curvatura nota la funzione che descrive la traiettoria del corpo ? Grazie

Sia $\vec r(t)$ la traiettoria del corpo; definiamo:

- il versore tangente: $\displaystyle \hat \tau (t) = {\vec v \over v}={d \vec r /dt \over | d \vec r /dt |}$

- il versore normale: $\displaystyle \hat n = {d \hat \tau / ds \over | d \hat \tau / ds |}={d \hat \tau /v d t \over |d \hat \tau / vdt|}={d \hat \tau / d t \over |d \hat \tau / dt|}$
(dove $ds=\sqrt{d \vec r \cdot d \vec r}=vdt$ indica il modulo dello spostamento infinitesimo nel tempo dt).

Chiamiamo la funzione $k(t)=|d \hat \tau / ds|={1 \over v}|d \hat \tau (t) / dt |$ la "curvatura" della traiettoria.
Si può dimostrare geometricamente (*) che il raggio di curvatura è il reciproco della curvatura:
$R_c = {1 \over k}$ .

A questo punto, tornando alla fisica, si ha
$\displaystyle k={1 \over v}|{d \hat \tau \over dt}|={1 \over v}|{d \over dt}{\vec v \over v}|={1 \over v^2}|\vec a - {\vec v \over v }{dv \over dt}|$

Scomponiamo l'accelerazione nelle sue componenti tangente e normale: $\vec a=\hat \tau a_{\tau}+ \hat n a_n$
(si vede facilmente che la componente nella terza direzione è nulla),
e osserviamo che $dv/dt={d \over dt}\sqrt{\vec v \cdot \vec v}={1 \over 2v}{2 \vec v \cdot \vec a}=\hat \tau \cdot \vec a=a_{\tau}$
(questo è il noto risultato per cui la variazione del modulo della velocità dipende solo dall'accelerazione tangenziale);

si ricava

$\displaystyle k={1 \over v^2}|\vec a - \hat \tau a_{\tau}|={|a_n| \over v^2}$
e quindi
$\displaystyle R_c={v^2 \over |a_n|}$
che se chiamiamo "accelerazione centripeta" la componente $a_n$ è qualcosa di piuttosto familiare.

Rimane da dimostrare (*), cioè che il raggio di curvatura è effettivamente $1/k$ .

poniamo $\vec r(t_0)=\vec 0$ ; la tesi è che la circonferenza di centro $R_c \hat n(t_0)={\hat n (t_0)\over k(t_0)}$ è la migliore approssimante della traiettoria per piccoli spostamenti dall'origine.

Sia $\rho(t)=|\vec r(t)-R_c \hat n(t_0)|$ la distanza dal centro;
la tesi è che le derivate prima e seconda di $\rho$ sono nulle in $t=t_0$
(mentre la derivata prima non lo sarebbe se avessimo scelto un'altra direzioni, e la seconda non lo sarebbe se avessimo scelto un qualsiasi altro valore per il raggio).

Infatti:
$\displaystyle \rho'={1 \over 2 \rho}(\vec r -R_c \hat n) \cdot \vec v={\vec r \cdot \vec v-R_c \hat n \cdot \vec v \over 2 \rho}$ che calcolato all'istante iniziale fa zero (infatti $\vec r(t_0)=\vec 0$ e $\vec v(t_0) \perp \hat n(t_0)$ )

e $\displaystyle \rho''={d \over dt}{\vec r \cdot \vec v-R_c \hat n \cdot \vec v \over 2 \rho}=-{1 \over 2 \rho^2}\rho'+{1 \over 2 \rho}(v^2+\vec r \cdot \vec a- R_c \hat n \cdot \vec a)$

Il primo pezzo, quello con la derivata prima, fa zero per quanto visto sopra; nel secondo pezzo abbiamo un $\vec r$ che si annulla al tempo $t_0$ e ci rimane

$\displaystyle {v^2-R_c a_n \over 2 \rho}$

che si annulla solo se il raggio di curvatura vale quanto avevamo calcolato prima, cioè $v^2/a_n$ .

Questo conclude la dimostrazione: la migliore approssimazione circolare della traiettoria vicino ad un determinato punto è la circonferenza con centro posto sulla direzione $\hat n$ (cioè la direzione nel piano individuato da $\vec v$ e $\vec a$ , ortogonale a $\vec v$ ), dalla parte verso cui la traiettoria sta piegando, a distanza $R_c=v^2/|a_n|$ .

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Dimostrazione formula raggio di curvatura

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Re: Dimostrazione formula raggio di curvatura

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