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Si consideri un sistema costituito da due dischi di masse e raggi , posti a contatto, ruotano senza strisciare sottoposti a sinistra alla tesione fornita da una molla di costante elastica e a destra dal peso di una massa appesa con una corda. All'inizio tutto è fermo e la lunghezza della molla all'equilibrio è nulla (bella approssimazione, no?).
Descrivere il moto risultante del sistema.
Calcolare il massimo abbassamento della massa M; in termini di moto oscillatorio, con cosa coincide?
Qualitativamente, qual è l'effetto di un attrito viscoso sulla massa M? (Per i coraggiosi, sono bene accetti anche i conti espliciti: non sono troppo complicati ). Come cambia il moto?

Proviamoci. Innanzitutto assumo che la molla fornisca, quando allungata, una forza tale che il braccio rispetto al centro del secondo disco sia sempre . Se la considerazione è sbagliata allora il problema salta. Assumo poi che il moto della massa sia armonico semplice (per la presenza della molla).

Sia l'accelerazione iniziale della massa. Allora sulla massa vale



Sia poi una forza "di contatto" fra i due dischi. Rispettivamente per il disco con la corda e quello senza posso scrivere




e la condizione di non slittamento impone . Risolvendo il sistemone si avrà che



Il massimo abbassamento della massa si ha quando la massa è ferma, allora e la posizione di equilibrio quando valida appunto perchè il sistema è in equilibrio. Allora conosco anche l'ampiezza .

Per un moto armonico semplice si ha

L'accelerazione iniziale, che è quella massima, la conosco. Sostituendo e ponendo quindi si ha

allora posso conoscere periodo e frequenza e il moto è descritto.

L'attrito viscoso penso che contribuisca a un effetto di smorzamento, per cui il moto risultante non sarà armonico semplice ma varierà l'ampiezza, che si riduce sempre di più (mi limito all'aspetto qualitativo ).

Potrebbe andare?

Ma se consideri la molla per calcolare l'equilibrio del sistema, non ha molto senso trascure l'effetto che ha sul moto rotatorio del disco cui è attaccata...
Quindi ti manca un momento torcente a sinistra.
Se rifai un'attimo il sistema, dovrebbe uscirti un'equazione differenziale che è manifestamente (cit.) del moto armonico. Così invece sbuca un'accelerazione a costante, che dovrebbe insospettirti.

mmm... sinceramente non ho capito... .

Io ho calcolato l'accelerazione della massa appena il sistema è lasciato libero. Ho trascurato il momento esercitato dalla molla proprio perchè, un istante dopo che il sistema viene lasciato libero, essa non è allungata. Poi sì, l'accelerazione non è costante, ma a me serve quella iniziale perchè così posso sfruttare le equazioni del moto armonico per ricavare e quindi descriverlo.

Comunque l'ho svolto in un altro modo e torna la stessa pulsazione... . Forse un errore è quello di dare per scontato che si tratti di un moto armonico semplice. Allora dimostriamolo (senza equazioni differenziali in un modo, a mio parere, più semplice anche concettualmente)

Se si porta il sistema all'equilibrio, la molla è allungata di un tratto pari a (si dimostra imponendo due volte ). Ora sposto la massa in basso di un tratto dalla posizione di equilibrio. Se il moto è armonico semplice allora .

Appena rilascio il sistema, ottengo che le equazioni su M, e rispettivamente sono:





che risolto porta a

Ma il coefficiente di proporzionalità è proprio

Potrebbe essere?

Sì la risposta direi che è giusta.
Secondo me andava bene anche la prima risposta di egl, anche se non dimostrava che il moto era effettivamente armonico. se non chiede esplicitamente i conti secondo me basta dire che la forza della molla è di tipo lineare, le altre forze non dipendono dalla posizione e quindi e quindi il moto sarà armonico.

nota un pò pignola: il disegno è un pò ingannevole perchè se la massa scende la molla dovrebbe comprimersi, ma è un pò difficile immaginarsi la molla che si comprime e poi comincia ad allungarsi nel verso opposto