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(assolutamente fuori luogo per un liceale)

Una molecola che si muove di moto Browniano sperimenta un confinamento all'interno di una matrice microstrutturata a nicchie quadrate il cui numero si può considerare infinito ( ed. ci si riferisca per le figure al testo suggerito da Pigkappa a pag.2 della soluzione dell'SNS n.1, 2024 postato da Marco Balsamo). Dopo osservazione al microscopio, la legge del moto della molecola, espressa come spazio esplorato (o Mean Squared Displacement, cioè MSD,) nel tempo (ms) risulta quella rappresentata in Fig.4B - ed. stesso testo suggerito da Pigkappa.
Si chiede di
1. stimare la dimensione caratteristica l delle nicchie di confinamento della matrice della legge del moto delle molecole (curva nera in Fig.4B) spiegando come si è giunti alla stima
2. stimare disegnandola la forma della legge del moto in assenza di barriere. Quanto spazio esplora la molecola per unità di tempo?
3. stimare disegnandola la forma della legge del moto in presenza di una barriera strutturata come in Fig.4A (ed. Pigkappa) ma semipermeabile (ovvero tale che la probabilità media di attraversarla nell'unità di tempo è non nulla). Illustrare come si potrebbe stimare la probabilità media di attraversamento delle barriere semipermeabili per unità di tempo da parte della molecola utilizzando la sola legge del moto
4. sapendo che la diffusività D()della molecola all'interno della zona di confinamento è descritta dall'equazione di Stokes-Einstein dove è la cost. di Boltzman, T(°K) è la temperatura, Pa,s è la viscosità dinamica del solvente e r(m) è il raggio idrodinamico della molecola, provare a stimare quest'ultimo assumendo che nelle misure descritte finora la molecola si trovi a temperatura ambiente e in solvente acquoso( ). Di che specie molecolare può trattarsi?

1. Dal grafico della Fig. 4B della soluzione suggerita da Pigkappa e del testo del problema risulta che la matrice quadrata relativa alla legge del moto MSD vale per cui la dimensione l richiesta risulta

2. E' necessaria una sintetica premessa sul moto Browniano. La particella di massa m immessa in un fluido all'equilibrio termodinamico a temperatura T, è soggetta a) ad un attrito viscoso b) alla forza risultante degli urti che è isotropa (il simbolo <> rappresenta il valore atteso della grandezza ivi compresa) e scorrelata . Applicando l'equazione di Clapeiron
risulta da cui lo spostamento
per diventa ovvero nel diagramma t,risulta una retta con coefficiente angolare 2D. Pertanto la massa m esplora uno spazio per unità di tempo che per tempi lunghi è costante ovvero essendo
esso vale 2D. La quantità D è detta diffusività. Insomma il grafico dell'equazione del moto dopo il tratto a coefficiente angolare costante è seguito da un tratta finale a coefficiente 0 parallelo all'asse t. Si tratta insomma del grafico della legge del moto riportata in Fig.4B. Nel prossimo post darò la mia soluzione dei quesiti 3. e 4.

Intanto copio qua le immagini perché sennò seguire è difficile

Ti ringrazio e posto l'intera soluzione proposta

1. Dal grafico della Fig. 4B della soluzione suggerita da Pigkappa e del testo del problema risulta che la matrice quadrata relativa alla legge del moto MSD vale per cui la dimensione l richiesta risulta

2. E' necessaria una sintetica premessa sul moto Browniano. La particella di massa M immessa in un fluido all'equilibrio termodinamico a temperatura T, è soggetta a) ad un attrito viscoso b) alla forza risultante degli urti che è isotropa (il simbolo <> rappresenta il valore atteso della grandezza ivi compresa) e scorrelata . Applicando l'equazione di Clapeiron
risulta da cui lo spostamento
per diventa ovvero nel diagramma t,risulta una retta con coefficiente angolare 2D. Pertanto la massa m esplora uno spazio per unità di tempo che per tempi lunghi è costante ovvero essendo
esso vale 2D. La quantità D è detta diffusività. Insomma il grafico dell'equazione del moto dopo il tratto a coefficiente angolare costante è seguito da un tratta finale a coefficiente 0 parallelo all'asse t. Si tratta insomma del grafico della legge del moto riportata in Fig.4B.

3. Il testo chiede di esaminare quello che succede per tempi lunghi quando non è nulla, come avveniva finora la probabilità p di attraversare la barriera in un tempo che indichiamo con Supponiamo che la molecola interessata sia all'interno di una celletta quadrata delle praticamente infinite cellette componenti la matrice del moto con grafico Fig.4B del testo. Nella celletta, vista l'indipendenza delle direzioni che può prendere la particella, nel tempo sarà la probabilità che attraversi verso l'alto o verso il basso o verso destra o verso sinistra e ovviamente sarà la probabilità che permanga in questo tempo dentro la celletta. Se allora consideriamo l'intera matrice del moto di dimensione di dimensione l e superficie ci possiamo aspettare un valore atteso per un tempo molto lungo . Ritroviamo insomma la solita legge lineare rispetto al tempo con un coefficiente angolare che, per tempi lunghi via via che incontra barriere, tende ancora a diventare orizzontale in accordo con la solita Fig. 4B del testo e relativa diffusività:

4. Se la diffusività è supposta, come dice dice il testo, quella di Stokes-Einstein si conoscono tutti i dati tranne r che può allora essere stimato come da richiesta. Risulta con
Si tratta di una macromolecola sicuramente appartenente ad una cellula complessa della chimica organica.

Scrivo la mia soluzione senza leggere la tua, per poi confrontare.

Risolvo prima il punto 2.), poi l'1.), poi gli altri.

2.) Nel caso di moto browniano, la distanza dal punto di origine aumenta con la radice quadrata del tempo: per un qualche . Il coefficiente dipende dalla velocità della molecola e dal libero cammino medio . Se stessi facendo il concorso disegnerei la funzione per far vedere come è fatta.
Dopo un tempo , il volume esplorato dalle particelle è . Ci chiedono il volume esplorato per unità di tempo, quindi esplicitiamo la sua derivata:

1.) Inizialmente il moto è come nel punto 2.), ma non si può mai attraversare il muro. Evidentemente nessuna particella supera il limite . Sperando che basti una stima approssimata per cui non bisogna preoccuparsi troppo della geometria delle celle e del punto di partenza della particella, stimerei come dimensione caratteristica proprio .

3.) Questo è un bel casino. Sia la probabilità di penetrazione. Assumo che perché mi sembra nello spirito del problema. Adesso bisogna dividere i casi , e quello intermedio .

Se , la matrice non ostacola il moto e il grafico rimane quasi uguale a quello del punto 2.)

Se , la particella passa raramente. Il grafico per piccoli tempi rimane uguale a quello del punto 1.), ma per grandi tempi continua comunque a salire, per quanto lentamente. Spiego qua cosa intendo per "grandi tempi". Sia il tempo caratteristico in cui si raggiunge il limite nel caso 1.) Per "grandi tempi" intendo . In pratica, la pendenza della retta passa da fino a tempi minori di , a per tempi maggiori di .

Se , gli urti con le altre particelle e quelli con la matrice ostacolano la particella circa con la stessa frequenza. In tal caso una approssimazione ragionevole del moto è che sia lineare ma, dopo una breve partenza con pendenza , poi si assesti a pendenza minore, ad esempio una pendenza come . Ho scelto questa funzione perché si riduce correttamente ai risultati che ho proposto nei due casi limite qua sopra.

Il testo ci chiede come stimare . Confrontando il grafico da misure di , che spero possiamo realizzare per molte particelle, con i tre grafici proposti qua sopra possiamo capire in quale dei tre casi ci troviamo, e stimare . Dobbiamo però conoscere alcuni tra , , o la velocità media delle particelle; se abbiamo letteralmente solo il grafico non si può fare.

4.) ha dimensioni di L^2/T. Il coefficiente che ho usato sopra ha a sua volta dimensioni di . Evidentemente hanno lo stesso significato fisico - più grande è la diffusione, più velocemente si diffondono le particelle - quindi stimerei . è la pendenza della retta per piccoli tempi, che a occhio stimerei con . Ricavando dalla formula per , viene m che sinceramente mi sembra troppo piccolo perché è più piccolo del raggio degli atomi.
Penso di aver interpretato male le misure nel grafico e invece di micro (metri quadri), quelli fossero (micro metri) quadri. Se così fosse, si otterrebbe m che è un ragionevole raggio di interazione molecolare.

Di che molecola si tratta? Non ne ho assolutamente idea. Se consideriamo come il libero cammino medio, possiamo usare per stimare m/s. Poi usiamo per trovare . In unità di masse del protone, , viene che è molto grande.

Avevo scritto "questa dovrebbe essere una molecola estremamente complicata. Non penso sia giusto."

Ma poi ho chiesto a ChatGPT e invece forse è giusto. Masse di alcuni sono assolutamente normali per molecole organiche.

Sul punto 1 siamo d'accordo, lo abbiamo fatto uguale.

Sul punto 2:

Higgs ha scritto: ↑

1 feb 2025, 13:11

risulta da cui lo spostamento
per diventa

Uhmmm quel passaggio mi sembra sbagliato?

Se , per tempi molto lunghi la distanza rimane finita, non diventa infinita.

L'errore sta a monte. Non è vero che la particella:

Higgs ha scritto: ↑

1 feb 2025, 13:11

è soggetta a) ad un attrito viscoso

Nel moto browniano, questo attrito non c'è, c'è solo il cambio di direzione casuale ogni volta che c'è un urto.

Nel caso del punto 2. non c'è nessun limite al moto della particella. Quindi inizia come una retta, così come dici tu, e continua per sempre come una retta.

Sul punto 3:

Higgs ha scritto: ↑

3 feb 2025, 18:07

nel tempo sarà la probabilità che attraversi

Dimensionalmente, non è una probabilità ma un tempo...

Seguire il tuo argomento è un po' difficile. Ho scritto nella mia soluzione quel che succede secondo me. In base al valore di , la griglia potrebbe fornire un ostacolo al moto che è maggiore, minore o simile a quello dovuto agli urti tra le particelle.

Higgs ha scritto: ↑

3 feb 2025, 18:07

4. Risulta con
Si tratta di una macromolecola sicuramente appartenente ad una cellula complessa della chimica organica.

Il ragionamento è lo stesso che ho fatto io ma ci viene un numero diverso, io ho messo questi numeri dentro Mathematica: E mi è uscito un raggio circa più piccolo del tuo.

Giusta comunque l'osservazione che, se il risultato corretto è dell'ordine di m, questa è una molecola complessa, molto grande, forse addirittura una cellula.

Ti ringrazio tanto di aver risposto così dettagliatamente ad un problema che, ribadisco, è assolutamente fuori luogo a livello SNS. Sono sotto esame e quindi concedimi qualche giorno perché devo rivedere il moto Browniano e la soluzione fornita da Byron che penso mi abbia confuso

La soluzione di Byron ancora non l'ho cercata.

Secondo me non è un problema fuori luogo. Il target non sono studenti di liceo generici, l'obbiettivo è identificare i circa 10 studenti migliori di quell'anno in Italia. Che ci siano alcuni studenti che hanno capito bene il moto browniano e hanno buona intuizione fisica (per fare il confronto tra diverse scale di lunghezza nella terza domanda) mi sembra plausibile.

Mi sono messo stasera a simulare il moto della particella. I risultati tornano con quel che avevo scritto sopra Posto qua sotto i grafici per i tre casi, (retta con pendenza fissa), (salita iniziale, poi appiattimento) e (retta che cambia pendenza).