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Si consideri una particella puntiforme A di massa e carica posta all'interno di un grande condensatore carico, a facce piane parallele orientate rispetto alla verticale come in figura. La gravita' agisce come di consueto.

Immaginando che su A agisca una forza viscosa , caratterizzata da un coefficiente costante , determinare l'energia dissipata dalla particella per secondo, nel limite asintotico di grandi tempo.

Si assuma che A abbia velocita' iniziale nulla e che, durante la sua evoluzione, resti sempre all'interno del condensatore senza urtare le pareti o il terreno. Si trascurino eventuali effetti di irraggiamento radiativo.

A è soggetta a due forze conservative quella elettrica generata dal campo E costante fra le armature e perpendicolare ad esse e dalla forza gravitazionale diretta verso il basso e parallela ad esse. Il moto risultante partendo essa da con velocità nulla avviene nel piano contenente il punto iniziale perpendicolare alle armature. Rispetto ad un riferimento fisso usuale le equazioni del moto dovrebbero essere
e
Calcoliamo ora l'energia cinetica acquistata nel tempo t dal lavoro delle forze attive conservative elettrica e gravitazionale e lo confrontiamo poi con quello effettuato dalla forza dissipativa .
Abbiamo ovvero
.Pertanto il lavoro delle forze attive per unità di tempo (potenza motrice) dovrebbe essere mentre la potenza dissipatrice dovrebbe essere
Da questo risultato sembra che per tempi lunghi e che quindi la particella dovrebbe arrestarsi e la sua energia essere dissipata in calore. Ma teoricamente il moto dovrebbe essere ripreso per poi arrestarsi di nuovo e cosi via...

Stai risolvendo il moto considerando solo le forze conservative, e poi calcoli il lavoro fatto dalla forza dissipativa?

Non si può fare così, le tre forze agiscono allo stesso tempo. Le tue equazioni per le accelerazioni devono includere le componenti della forza dissipativa.

Fortunatamente le forze conservative sono costanti quindi il moto è geometricamente semplice.

Cerco di sintetizzare per sapere se è possibile un esito come questo generato dalla tua osservazione. Secondo il sistema di riferimento ipotizzato nel post precedente otterrei una equazione del moto sull'asse x del tipo . Analoga rispetto ad y dove al secondo membro compaiono . La soluzione di questa equazione non omogenea del primo ordine mi verrebbe
. Siccome risulterebbe in definitiva per tempi lunghi costante come il moto di regime di un paracadute in cui la forza peso uguaglia quella di attrito. Ma è mai possibile Sembra che per tempi lunghi il rapporto fra e l'esponenziale dia luogo ad un valore finito....

La soluzione ha quella forma lì, ma chiamare quel parametro può generare confusione perché non è la velocità nel momento iniziale. Vedi infatti che l'altro termine (costante) non si annulla in t=0.

Comunque, sì, la situazione è analoga a uno che cade con un paracadute. La somma di forza di gravità e elettrica è costante e uniforme, quindi equivale ad una situazione in cui c'è solo la gravità, orientata non verso il basso ma in diagonale, e di modulo diverso dalla solita g.

Per risolvere il problema non è neanche davvero necessario risolvere l'equazione differenziale, basta trovare la velocità limite per t che tende a infinito.

A questo punto dovresti arrivare in fondo senza problemi

La forza totale agente, motrice e dissipatrice, come mi fai notare, è . Considerate le due componenti, anche per quanto visto nel mio precedente post, risultano
e . Si vede che per tempi infinitamente lunghi in pratica il vettore velocità è la risultante di e di un vettore diagonale verso il basso di modulo cui fa riferimento la forza dissipatrice. Pertanto la risposta alla domanda è che la potenza dissipata al limite per grandi tempi lungo la diagonale verso il basso è uguale ed opposta a quella della somma delle forze motrici componenti elettrica e gravitazionale e quindi praticamente nulla in modo da rendere costante la risultante.

Ok sul conto per la velocita' finale.

Capisco quel che vuoi dire con la ultima frase, ma la domanda secondo me va interpretata diversamente.

La velocita' finale e' costante quindi e' chiaro che in totale la potenza e' zero, perche' la somma di tutte le forze e' nulla. La domanda sarebbe triviale se si riferisse a questo.

Direi che ci si riferisce qua alla potenza dissipata dalla forza di attrito. Che quindi e':

Si hai ragione sull'ultima frase. Ma ancora una volta: non si sottolinea mai abbastanza come i testi SNS sono, volutamente o no, molto ambigui soprattutto per un liceale
NB. Quando hai tempo e voglia potresti postare il complicato SNS n.4? Grazie