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326. Ruota inclinata sul suolo
Inviato: 21 set 2024, 17:58
da Higgs
Un asse senza massa ha una estremità attaccata al centro di una ruota (un disco di massa m e raggio r) e l'altra attaccata ad un pivot fissato al suolo.
La ruota rotola senza strisciare sul suolo con l'asse che forma un angolo costante
con l'orizzontale. Il punto di contatto della ruota con il suolo descrive una circonferenza con frequenza
.
a) Dimostrare che
(frequenza di rotazione della ruota attorno al suo centro) punta verso destra con componente orizzontale pari a
b) Dimostrare che la forza normale N fra suolo e ruota è
 cos\theta sen^2 \theta + (3/2) cos^3 \theta])
(Edit con hints ) Si tratta di un problema tratto da
Introduction to Classical Mechanics di David Morin. Rispetto ad a) tenere conto della condizione di rotolamento ruota/suolo. Il quesito b) è più complicato: bisogna considerare le componenti di
ovvero
e riportarle quindi sugli assi cartesiani
con origine nel pivot ma direzioni da determinare. Si deve trovare il momento angolare
dove
sono i momenti di inerzia della ruota rispetto a
e poi la sua componente orizzontale.....
Re: 326. Ruota inclinata sul suolo
Inviato: 8 ott 2024, 19:08
da Marco Balsamo
a) La
che si vuole determinare è dovuta a due contributi. Il primo che chiamo
: la velocità angolare di rotazione del disco attorno al suo centro che è uscente dallo stesso (come si può facilmente verificare). C'è poi anche una velocità angolare di precessione del centro di massa della ruota attorno al pivot, ovvero
, diretta verso il basso e perpendicolare al suolo. Inoltre il punto di contatto della ruota con il suolo è istantaneamente fermo. La somma vettoriale delle due velocità angolari deve essere dunque nella direzione determinata dai due punti di contatto con il suolo che sono istantaneamente fermi, quello del pivot e quello della ruota/suolo. Cioè:
e
. Facendo il rapporto membro a membro della seconda eq. sulla prima si trova proprio:
Re: 326. Ruota inclinata sul suolo
Inviato: 9 ott 2024, 11:15
da Higgs
Corretto. Sei sulla strada giusta. Forza con il punto b)tenendo conto dell'hint
Re: 326. Ruota inclinata sul suolo
Inviato: 9 ott 2024, 19:03
da Marco Balsamo
Ho riguardato il problema 325 ed ho provato circa la stessa strada che hai utilizzato per determinare la frequenza. Per cui ho preso
parallelo all'asta/asse e
perpendicolare a quest'ultimo. Da cui:
=(I_1\vec \omega_1;I_2\vec \omega_2))
. Con
e
^2)
per Huygens-Steiner. Perciò:
^2](-\omega\sin\theta)))
.
, in generale, varia nel tempo, ma scomponendolo nelle direzioni perpendicolare e parallela al suolo, questa variazione è espressa se non altro dalla rotazione di
. Da cui
per il teorema di Poisson. Con
. Da cui, sostituendo
e
ed essendo
e
perpendicolari fra loro risulta, dopo un po' di calcoli
^2}{2}+ \frac{(\sin\theta)^2}{4}])
. Ora calcolo il momento torcente rispetto al pivot:
^2}{\sin\theta}+\frac{Nr}{\sin\theta}=\frac{mr^2\Omega^2}{\tan\theta}[\frac{3(\cos\theta)^2}{2}+ \frac{(\sin\theta)^2}{4}])
. Cioè:
^2+mr\Omega^2\cos\theta[\frac{3(\cos\theta)^2}{2}+\frac{(\sin\theta)^2}{4}])
, ovvero:
^2+mr\Omega^2[(1/4)\cos\theta(\sin\theta)^2+(3/2)(\cos\theta)^3])
Re: 326. Ruota inclinata sul suolo
Inviato: 10 ott 2024, 10:59
da Higgs
Re: 326. Ruota inclinata sul suolo
Inviato: 14 ott 2024, 17:14
da Higgs
@ marco balzamo Sono usciti gli ultimi quesiti di Fisica 24-25 per l'ammissione in Normale. Se non hai di meglio comincia dal n. 1 !
Re: 326. Ruota inclinata sul suolo
Inviato: 15 ott 2024, 19:40
da Marco Balsamo
@Higgs effettivamente stavo prendendomi del tempo per la scelta di un problema che non sia stato già trattato sul forum. Non ho avuto modo di vedere ancora i problemi dell'ammissione di quest'anno, ma a questo punto a breve mi impegnerò. In ogni caso apro un nuovo thread Sns n.1 2024 !