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We have a small ring made of thin wire having radius $R$ and its inductance is $L$ . Find the inductance of a ring having $n$ -times the dimensions as this ring. If in the plane of the ring, we place another superconducting ring of half the geometric dimensions so that the planes of the rings and their centers coincide, then the inductance of the ring with radius $R$ comes out to be $L_1$ . What will the inductance $L_2$ of the ring with radius $R$ be when it is placed inside a superconducting ring with twice the geometric dimensions? The planes and centers of the rings also coincide in this case.

Striking problem. Where did you get that?

It is a problem from Russian olympiad. Give it a try, it is a nice puzzle and has a nice solution.

Sure, during these days I will try to solve this problem and also the other you proposed.

Ok, thank you!
I'll propose some other challenging problems from Rudolf Ortvay since they do not have official solutions anywhere.

Physicsguy51 ha scritto: ↑
30 ago 2023, 5:07
We have a small ring made of thin wire having radius $R$ and its inductance is $L$ . Find the inductance of a ring having $n$ -times the dimensions as this ring. If in the plane of the ring, we place another superconducting ring of half the geometric dimensions so that the planes of the rings and their centers coincide, then the inductance of the ring with radius $R$ comes out to be $L_1$ . What will the inductance $L_2$ of the ring with radius $R$ be when it is placed inside a superconducting ring with twice the geometric dimensions? The planes and centers of the rings also coincide in this case.

This problem has a medium-high difficulty coefficient, but it's striking, especially because of the challenging entanglements making up the puzzle.

Let us recall the formula for the inductance of a ring of radius $R$ and wire cross-sectional area $A$ , as given by:

$\displaystyle L = \frac{\mu_0 N^2 A}{\ell}$ , where $\displaystyle \mu_0$ is the permeability of vacuum, $\displaystyle N$ is the number of turns of the wire, and $\displaystyle \ell$ is the length of the wire. For a single-turn ring, we have $\displaystyle N = 1$ , $\displaystyle \ell = 2 \pi R$ and $\displaystyle A = \pi R^2$ , so the formula simplifies to:

$\displaystyle L = \frac{\mu_0 \pi R^2}{2 \pi R} \Rightarrow L = \frac{\mu_0 R}{2}$ . Note that the inductance $\displaystyle L$ of a ring is proportional to its radius $\displaystyle R$ , so that $\displaystyle L \propto R$ , because, according to $\displaystyle \Phi = LI$ , the magnetic flux $\displaystyle \Phi$ through the plane of the ring is directly proportional to the radius $\displaystyle R$ , so $\displaystyle \Phi \propto R$ . It is due to the fact that the magnitude of magnetic field $\displaystyle B$ is inversely proportional to $\displaystyle R$ (it decreases as the radius increases, in inverse proportion), so that relationship between magnetic field induction and geometrical dimensions is $\displaystyle B \propto \frac{1}{R}$ , and the cross-sectional area $\displaystyle A$ is directly proportional to $\displaystyle R^2$ (it increases proportionally to the square of the radius), so that relationship between area and geometrical dimensions is $\displaystyle A \propto R^2$ .

Now, suppose having another ring that has $\displaystyle n$ -times the dimensions of the original ring, that means its radius is $\displaystyle R_n = nR$ , its cross-section area is $\displaystyle A_n = \pi (nR)^2 = n^2 \pi R^2$ , and its length is $\displaystyle \ell_n = 2 \pi n R$ . Plugging these values into the formula, we get that, for $\displaystyle N = 1$ , the inductance of this ring is:

$\displaystyle L_n = \frac{\mu_0 N^2 A_n}{\ell_n}$ $\Rightarrow$ $\displaystyle L_n = \frac{\mu_0 n^2 \pi R^2}{2 \pi n R}$ $\Rightarrow$ $\displaystyle L_n = \frac{\mu_0 n \pi R}{2}$ . Since $\displaystyle L$ is equal to: $\displaystyle L = \displaystyle \frac{\mu_0 R}{2}$ , we obtain:

$\displaystyle \color{Red} \boxed{\color{Black} L_n = nL}$

So, the inductance of the scaled-up ring is $n$ times the inductance of the original ring.

In a more general way, it can therefore be written:

$\displaystyle \color{Red} \boxed{\color{Black} L (nR) = nL (R)}$

The placing of superconductors inside (smaller size) or outside (larger size) of an original ring, so that their planes and centers coincide, is the case involving concentric and coplanar rings, which make up a puzzle through which the starting ring changes its self-inductance depending on the loop in contact with it. The interest of the problem is to calculate the inductance $L_2$ of a ring of radius $R$ and self-inductance $L$ when it is introduced inside a superconducting ring of twice the size (i.e., of radius $2R$ ), after a superconducting disc of half the size (i.e., of radius $\frac{R}{2}$ ) has been put inside the conducting loop itself, such that the self-inductance of the medium-sized ring is equal to $L_1$ . Hence, possible methods will have to be found to correlate the three currents $I$ , $I_1$ and $I_2$ flowing, respectively, in the conducting ring of radius $R$ , the inner superconducting loop of radius $\frac{R}{2}$ and the outer superconducting loop of radius $2R$ : through the inductances $L$ , $L_1$ and $L_2$ of the conductor, they will be led back to the evaluation of the magnetic fluxes $\Phi_1$ and $\Phi_2$ through the plane of the ring of radius $R$ in the presence of the coils of radii $\frac{R}{2}$ e $2R$ , respectively. In order to calculate those, however, it is necessary to consider, preliminarily, the magnetic fluxes through the common plane with a region having outer radius $R$ and inner radius $\frac{R}{2}$ (this flux, which will be called $\Phi_{\frac{R}{2},R} ^ {int, ext}$ , is preparatory for the calculation of the flux $\Phi_1$ ) and a region with outer radius $2R$ and inner radius $R$ (such a flux, which will be denoted $\Phi_{2R,R} ^ {\text{ext,int}}$ , will be necessary for the evaluation of the flux $\Phi_2$ ). Between calculating the fluxes through the only regions of the ring with smaller inner radius and larger outer radius, and calculating the fluxes through the plane of the ring in the presence of the two superconductors, the intermediate step is given - as one might assume - by figuring out the net fluxes, constant at $0$ , $\Phi_{\text{net}, \frac{R}{2}} ^ {\text{int}}$ and $\Phi_{\text{net}, 2R} ^ {\text{ext}}$ through the inner (of radius $\frac{R}{2}$ ) and outer (of radius $2R$ ) regions, respectively, bounded by the superconducting rings (of equal respective sizes).

The magnetic flux $\Phi_{\text{tot}}$ through the plane of the ring of radius $R$ with inductance $L$ and into which a current $I$ flows, is equal to: $\Phi_{\text{tot}} = LI$ . Therefore:

1) the flux $\Phi_{\frac{R}{2}} ^ {\text{int}}$ of the magnetic field through an inner region of the original ring (of radius $R$ ) comparable to a circular loop of radius $\frac{R}{2}$ , coplanar and concentric to it, will be a positive fraction of the total flux $\Phi_{\text{tot}}$ , defined by a multiplicative factor $k_1 < 1$ such that $\Phi_{\frac{R}{2}} ^ {\text{int}} = k_1 \Phi_{\text{tot}} < \Phi_{\text{tot}}$ .

2) The flux $\Phi_{2R} ^ {\text{ext}}$ of the magnetic field through a region outside the original ring (of radius $R$ ) comparable to a circular disc of radius $2R$ , coplanar and concentric to it, will be, analogous to the previous, a positive fraction of the total flux $\Phi_{\text{tot}}$ , defined - this time - by a multiplicative factor $k_2 < 1$ such that $\Phi_{2R} ^ {\text{ext}} = k_2 \Phi_{\text{tot}} < \Phi_{\text{tot}}$ .

So:

1) $\Phi_{\frac{R}{2}} ^ {\text{int}} = k_1 \Phi_{\text{tot}} = k_1 LI$ , with $k_1 < 1$ .
2) $\Phi_{2R} ^ {\text{ext}} = k_2 \Phi_{\text{tot}} = k_2 LI$ , with $k_2 < 1$ .

Hence it follows that $k_1$ is the factor that sets the flux $\Phi_{2R,\frac{R}{2}}$ of the ring of radius $2R$ due to that of radius $\frac{R}{2}$ , and that $k_2$ is the factor defining the flux $\Phi_{\frac{R}{2}, 2R}$ of the ring of radius $\frac{R}{2}$ due to that of radius $2R$ .

In conclusion, regarding 1), the flux $\Phi_{\frac{R}{2},R} ^ {int, ext}$ of the magnetic field through the plane region with outer radius $R$ and inner radius $\frac{R}{2}$ will be given by the difference between total flux $\Phi_{\text{tot}}$ and inner flux $\Phi_{\frac{R}{2}} ^ {\text{int}}$ through the circle of radius $\frac{R}{2}$ . Symbolically:

$\Phi_{\frac{R}{2},R} ^ {\text{int,ext}} = \Phi_{\text{tot}} - \Phi_{\frac{R}{2}} ^ {\text{int}}$ $\Rightarrow \$ $\Phi_{\frac{R}{2},R} ^ {\text{int,ext}} = \Phi_{\text{tot}} - k_1 \Phi_{\text{tot}} = (1-k_1) \Phi_{\text{tot}}$ $\Rightarrow \$ $\Phi_{\frac{R}{2},R} ^ {\text{int,ext}} = (1-k_1) LI$ .

The net internal flux $\Phi_{\text{net}, \frac{R}{2}} ^ {\text{int}}$ through the inner region of radius $\frac{R}{2}$ of the conducting ring bounded by the superconductor of same radius is given by the difference between the flux $\Phi_{\frac{R}{2}} ^ {\text{int}}$ through the circle of radius $\frac{R}{2}$ and the flux $\Phi_{\frac{R}{2}}^{\text{superconducting}}$ through the inner superconducting ring of radius $\frac{R}{2}$ , equal to $\Phi_{\frac{R}{2}}^{\text{superconducting}} = L \bigg(\frac{R}{2} \bigg) I_1$ .
Since it has been proved that the inductance of a ring with dimensions $n$ -times larger than a starting ring is equal to $n$ times the inductance of the latter, then, for a ring with geometric dimensions of half the size of an original correspondent, i.e., for $n = \frac{1}{2}$ , we have:

$L (nR) = n L(R)$ $\Rightarrow \$ $L \bigg(\frac{R}{2}\bigg) = \frac{L}{2}$ . Substituting in $\Phi_{\frac{R}{2}}^{\text{superconducting}}$ , we have:

$\Phi_{\frac{R}{2}}^{\text{superconducting}} = \frac{L}{2} I_1$ . Therefore:

$\Phi_{\text{net}, \frac{R}{2}} ^ {\text{int}} = \Phi_{\frac{R}{2}} ^ {\text{int}} - \Phi_{\frac{R}{2}}^{\text{superconducting}}$ , with $\Phi_{\text{net}, \frac{R}{2}} ^ {\text{int}} = 0$ . So:

$\Phi_{\frac{R}{2}} ^ {\text{int}} - \Phi_{\frac{R}{2}}^{\text{superconducting}} = 0$ $\Rightarrow \$ $\Phi_{\frac{R}{2}} ^ {\text{int}} = \Phi_{\frac{R}{2}}^{\text{superconducting}}$ $\Rightarrow \$ $k_1 \Phi_{\text{tot}} = \frac{L}{2} I_1 \Rightarrow \frac{L}{2} I_1 = k_1 LI$ $\space$ $\space$ $\space$ $(1)$ .

Since the coil of radius $R$ through which current $I$ flows, assumes inductance $L_1$ when the superconducting ring of radius $\frac{R}{2}$ is placed inside it, then the magnetic flux $\Phi_1$ through the plane of the first one, corresponding to the total flux relative to the original ring in the presence of the smaller superconductor, is given by: $\Phi_1 = L_1 I$ . That same flux is given by the sum of the magnetic flux $\Phi_{\frac{R}{2},R} ^ {\text{int,ext}} = (1-k_1) LI$ through the plane region with outer radius $R$ and inner radius $\frac{R}{2}$ and the flux $\Phi_{\frac{R}{2}, 2R}$ through the superconducting ring of radius $\frac{R}{2}$ due to that of radius $2R$ . The latter flux is given by a fraction of the flux $\Phi_{\frac{R}{2}}^{\text{superconducting}}$ through the inner superconducting ring of radius $\frac{R}{2}$ , defined - as already analyzed - by the coefficient $k_2$ . Therefore: $\Phi_{\frac{R}{2}, 2R} = k_2 \Phi_{\frac{R}{2}}^{\text{superconducting}} = k_2 \frac{L}{2} I_1$ . Ultimately, we have:

$\Phi_1 = \Phi_{\frac{R}{2},R} ^ {\text{int,ext}} + \Phi_{\frac{R}{2}, 2R}$ $\Rightarrow \$ $\Phi_1 = (1-k_1) LI + k_2 \frac{L}{2} I_1$ .

By equating the two expressions for $\Phi_1$ , we have:

$\Phi_1 = L_1 I = (1-k_1) LI + k_2 \frac{L}{2} I_1$ $\Rightarrow \$ $L_1 I = (1-k_1) LI + k_2 \frac{L}{2} I_1$ $\space$ $\space$ $(2)$

Substituting $(1)$ into $(2)$ , we have:

$L_1 I = (1-k_1) LI + k_2 k_1 LI$ $\Rightarrow \$ $L_1 I = (1-k_1 + k_1 k_2) LI$ $\Rightarrow$ $L_1 = (1- k_1 + k_1 k_2) L$ $\Rightarrow \$ $\boxed{L_1 = [1-k_1 (1-k_2)] L}$ .

By means of the mutual induction approach, it is possible to obtain, for $L_1$ , a result similar to that just calculated, with a significantly smaller number of steps. Let $M$ be the mutual inductance coefficient of the two electrically separated circuits consisting of the loop of radius $R$ and the superconducting loop of radius $\frac{R}{2}$ , such that $M_{\frac{R},R} = M_{R,\frac{R}{2}} = M$ , i.e., that the mutual inductance coefficient $M_{R,\frac{R}{2}}$ of the conducting ring of radius $R$ on the superconductor of radius $\frac{R}{2}$ is equal to that $M_{\frac{R}{2},R}$ of the latter on the former. Therefore, the internal flux $\Phi_{\frac{R}{2}}^{\text{int}}$ through the circle of radius $\frac{R}{2}$ is given by the product of the mutual inductance coefficient $M$ and the current $I$ flowing through the original ring. In symbols: $\Phi_{\frac{R}{2}}^{\text{int}} = MI$ .

In analogy to what we saw earlier with expression (1), we have that:

$\Phi_{\text{net}, \frac{R}{2}} ^ {\text{int}} = \Phi_{\frac{R}{2}} ^ {\text{int}} - \Phi_{\frac{R}{2}}^{\text{superconducting}}$ , with $\Phi_{\frac{R}{2}}^{\text{superconducting}} = \frac{L}{2} I_1$ and $\Phi_{\text{net}, \frac{R}{2}} ^ {\text{int}} = 0$ . Therefore:

$\Phi_{\frac{R}{2}} ^ {\text{int}} - \Phi_{\frac{R}{2}}^{\text{superconducting}} = 0$ $\Rightarrow \$ $\Phi_{\frac{R}{2}} ^ {\text{int}} = \Phi_{\frac{R}{2}}^{\text{superconducting}}$ $\Rightarrow \$ $MI = \frac{L}{2} I_1 \Rightarrow \frac{L}{2} I_1 = MI$ , whence:

$I_1 = 2 \frac{M}{L} I$ $\space$ $\space$ $\space$ $(1.1)$ .

As discussed previously, the magnetic flux $\Phi_1$ through the plane of the ring of radius $R$ , corresponding to the total flux relative to the original ring in the presence of the superconductor of radius $\frac{R}{2}$ , is given by: $\Phi_1 = L_1 I$ . This same flux is given by the difference between the magnetic flux $\Phi_{\text{tot}} = LI$ through the plane of the ring of radius $R$ with inductance $L$ and in which a current $I$ flows and the magnetic flux $\Phi_{\frac{R}{2}, R} ^ {int,ext superconducting} = MI_1$ through the plane region with outer radius $R$ and inner radius $\frac{R}{2}$ and internally bounded by the superconducting ring of radius $\frac{R}{2}$ . Therefore:

$\Phi_1 = \Phi_{\text{tot}} - \Phi_{\frac{R}{2},R} ^ {int,ext superconducting} \Rightarrow \Phi_1 = LI - MI_1$ .

Equalizing the two expressions for $\Phi_1$ , we have:

$\Phi_1 = L_1 I = LI - MI_1 \Rightarrow \ L_1 I = LI - MI_1$ $\space$ $\space$ $(2.1)$ .

Substituting $(1.1)$ into $(2.1)$ , we have:

$L_1 I = LI - MI_1 \Rightarrow \L_1 I = LI - 2 \frac{M^2}{L} I \Rightarrow \ \boxed{L_1 = L - \frac{2M^2}{L}}$ .

Picking up 2), the flux $\Phi_{2R,R} ^ {\text{ext, int}}$ of the magnetic field through the plane region with outer radius $2R$ and inner radius $R$ will be given by the difference between total flux $\Phi_{\text{tot}}$ and outer flux $\Phi_{2R} ^ {\text{ext}}$ through the circle of radius $2R$ . In symbols:

$\Phi_{2R,R} ^ {\text{ext, int}} = \Phi_{\text{tot}} - \Phi_{2R} ^ {\text{ext}}$ $\Rightarrow \$ $\Phi_{2R,R} ^ {\text{ext,int}} = \Phi_{\text{tot}} - k_2 \Phi_{\text{tot}} = (1-k_2) \Phi_{\text{tot}}$ $\Rightarrow \$ $\Phi_{2R,R} ^ {\text{ext, int}} = (1-k_2) LI$ .

The net external flux $\Phi_{\text{net}, 2R} ^ {\text{ext}}$ through the outer region of radius $2R$ of the conducting ring bounded by the superconductor of the same radius is given by the difference between the flux $\Phi_{2R,R} ^ {\text{ext, int}}$ through the region with outer radius $2R$ and inner radius $R$ , and the flux $\Phi_{2R}^{\text{superconducting}}$ through the outer superconducting ring of radius $2R$ , equal to $\Phi_{2R}^{\text{superconducting}} = L \bigg(2R \bigg) I_2$ .
Since it has been shown that the inductance of a ring having dimensions $n$ -times larger than a starting ring is equal to $n$ times the inductance of the latter, then, for a ring having geometric dimensions twice the size of an original counterpart, that is, for $n = 2$ , we have:

$L (nR) = n L(R)$ $\Rightarrow \$ $L \bigg(2R \bigg) = 2L$ . Plugging it into $\Phi_{2R} ^{\text{superconducting}}$ , we have:

$\Phi_{2R}^{\text{superconducting}} = 2L I_2$ . Therefore:

$\Phi_{\text{net}, 2R} ^ {\text{ext}} = \Phi_{2R,R} ^ {\text{ext, int}} - \Phi_{2R}^{\text{superconducting}}$ , with $\Phi_{\text{net}, 2R} ^ {\text{ext}} = 0$ . So:

$\Phi_{2R,R} ^ {\text{ext, int}} - \Phi_{2R}^{\text{superconducting}} = 0$ $\Rightarrow \$ $\Phi_{2R,R} ^ {\text{ext, int}} = \Phi_{2R}^{\text{superconducting}}$ $\Rightarrow \$ $(1-k_2) \Phi_{\text{tot}} = 2L I_2 \Rightarrow 2L I_2 = (1-k_2) LI$ $\space$ $\space$ $\space$ $(1.2)$ .

Since the loop of radius $R$ in which current $I$ flows acquires inductance $L_2$ when the superconducting ring of radius $2R$ is placed inside it, then the flux $\Phi_2$ of the magnetic field through the plane of the former, corresponding to the total flux relative to the original ring in the presence of the larger superconductor, is given by: $\Phi_2 = L_2 I$ . This same flux is given by the difference between the flux $\Phi_{\text{tot}}$ of the magnetic field through the plane of the ring of radius $R$ having inductance $L$ and in which a current $I$ flows, and the flux $\Phi_{2R,\frac{R}{2}}$ through the superconducting ring of radius $2R$ due to that of radius $\frac{R}{2}$ . The latter flux is given by a fraction of the flux $\Phi_{2R}^{\text{superconducting}}$ through the outer superconducting ring of radius $2R$ , defined - as already examined - by the coefficient $k_1$ . So: $\Phi_{2R, \frac{R}{2}} = k_1 \Phi_{2R}^{\text{superconducting}} = 2k_1 L I_2$ . Ultimately, we have:

$\Phi_2 = \Phi_{\text{tot}} - \Phi_{2R, \frac{R}{2}}$ $\Rightarrow \$ $\Phi_2 = LI - 2k_1 L I_2$ .

Equalizing the two expressions for $\Phi_2$ , we have:

$\Phi_2 = L_2 I = LI - 2k_1 L I_2$ $\Rightarrow \$ $L_2 I = LI - 2k_1 L I_2$ $\space$ $(2.2)$ .

Substituting $(1.2)$ into $(2.2)$ , we have:

$L_2 I = LI - 2k_1 L I_2$ $\Rightarrow \$ $L_2 I = LI - k_1 (1-k_2) LI$ $\Rightarrow\$ $L_2 I = [1- k_1 (1-k_2)] L I$ $\Rightarrow \$ $\boxed{L_2 = [1-k_1 (1-k_2)] L}$ .

For $L_2$ it is also possible to arrive at a similar result to that calculated by a procedure similar to the one used for the case of $L_1$ , that is, by evaluating mutual induction. If $M$ is the mutual inductance coefficient of the loop of radius $R$ and the superconducting ring of radius $\frac{R}{2}$ , such that $M_{\frac{R}{2} R} = M_{R,\frac{R}{2}} = M$ , then the coefficient of mutual inductance of the conducting ring of radius $R$ and the superconducting ring of radius $2R$ will be $kM$ , such that $M_{2R,R} = M_{R,2R} = kM$ , i.e., that the mutual inductance coefficient $M_{R, 2R}$ of the conducting loop of radius $R$ on the superconductor of radius $2R$ is equal to that $M_{2R,R}$ of the latter on the former. Let 1 and 2 be the circuit configurations consisting of conductor loop of radius $R$ and superconductor loop of radius $\frac{R}{2}$ , and conductor loop of radius $R$ and superconductor loop of radius $2R$ , respectively: the multiplicative factor $k > 0$ will be calculated so that the product of the circuit sizes in configuration 2 is equal to the product of the circuit sizes in configuration 1 enlarged $k$ times. Therefore, with $R_1^{\text{int}} = \frac{R}{2}$ , $R_1^{\text{ext}} = R$ and $R_2^{\text{int}} = R$ , $R_2^{\text{ext}} = 2R$ , we have:

$kR_1^{\text{int}} \cdot kR_1^{\text{ext}} = R_2^{\text{int}} \cdot R_2^{\text{ext}}$ $\Rightarrow\$ $k\frac{R}{2} \cdot k R = R \cdot 2R$ $\Rightarrow \$ $k^2 \frac{R^2}{2} = 2R^2$ $\Rightarrow \$ $k^2 = 4$ $\Rightarrow \$ $k = \pm 2$ $\Rightarrow \$ $k = 2$ since $k > 0$ . Therefore, $M_{2R,R} = M_{R,2R} = 2M$

Therefore, the external flux $\Phi_{2R}^{\text{ext}}$ through the circle of radius $2R$ is given by the product of the mutual inductance coefficient $2M$ and the current $I$ flowing through the original ring. In symbols: $\Phi_{2R}^{\text{ext}} = 2MI$ .

As seen above with the expression $(1.2)$ , we have that:

$\Phi_{\text{net}, 2R} ^ {\text{ext}} = \Phi_{2R} ^ {\text{ext}} - \Phi_{2R}^{\text{superconducting}}$ , with $\Phi_{2R}^{\text{superconducting}} = 2L I_2$ and $\Phi_{\text{net}, 2R} ^ {\text{ext}} = 0$ . Therefore:

$\Phi_{2R} ^ {\text{ext}} - \Phi_{2R}^{\text{superconducting}} = 0$ $\Rightarrow \$ $\Phi_{2R} ^ {\text{ext}} = \Phi_{2R}^{\text{superconducting}}$ $\Rightarrow \$ $2MI = 2L I_2 \Rightarrow \ LI_2 = MI$ , from which:

$I_2 = \frac{M}{L} I$ $\space$ $\space$ $\space$ $(1.3)$

As discussed before, the flux $\Phi_2$ of the magnetic field through the plane of the ring of radius $R$ , corresponding to the total flux relative to the original ring in the presence of the superconductor of radius $2R$ , is given by: $\Phi_2 = L_2 I$ . That same flux is given by the difference between the flux $\Phi_{\text{tot}} = LI$ of the magnetic field through the plane of the ring of radius $R$ with inductance $L$ and in which a current $I$ flows and the flux $\Phi_{2R, R} ^ {\text{ext,int superconducting}} = 2MI_2$ of the magnetic field through the plane region having outer radius $2R$ and inner radius $R$ and externally bounded by the superconducting ring of radius $2R$ . Therefore:

$\Phi_2 = \Phi_{\text{tot}} - \Phi_{2R,R} ^ {\text{ext,int superconducting}} \Rightarrow \Phi_2 = LI - 2MI_2$ .

Equalizing the two expressions for $\Phi_2$ , we have:

$\Phi_2 = L_2 I = LI - 2MI_2 \Rightarrow \L_2 I = LI - 2MI_2$ $\space$ $\space$ $(2.3)$ .

Substituting $(1.3)$ into $(2.3)$ , we have:

$L_2 I = LI - 2MI_2 \Rightarrow \ L_2 I = LI - 2 \frac{M^2}{L} I \Rightarrow \ \boxed{L_2 = L - \frac{2M^2}{L}}$ .

Comparing the two expressions for $L_1$ and $L_2$ , it can be seen that they are equal. Therefore, we arrive at the relation:

$\color{Red} \boxed{\color{Black} L_2 = L_1}$ .

Physicsguy51 ha scritto: ↑
30 ago 2023, 5:07
We have a small ring made of thin wire having radius $R$ and its inductance is $L$ . Find the inductance of a ring having $n$ -times the dimensions as this ring. If in the plane of the ring, we place another superconducting ring of half the geometric dimensions so that the planes of the rings and their centers coincide, then the inductance of the ring with radius $R$ comes out to be $L_1$ . What will the inductance $L_2$ of the ring with radius $R$ be when it is placed inside a superconducting ring with twice the geometric dimensions? The planes and centers of the rings also coincide in this case.

Si ricordi la formula che definisce l'induttanza di un anello avente raggio $R$ e sezione trasversale del filo $A$ , data da:

$\displaystyle L = \frac{\mu_0 N^2 A}{\ell}$ , dove $\displaystyle \mu_0$ è la permeabilità magnetica del vuoto, $\displaystyle N$ è il numero di avvolgimenti del filo e $\displaystyle \ell$ è la lunghezza dello stesso. Per un singolo giro della bobina, si ha $\displaystyle N = 1$ , $\displaystyle \ell = 2 \pi R$ e $\displaystyle A = \pi R^2$ , quindi la formula si semplifica in:

$\displaystyle L = \frac{\mu_0 \pi R^2}{2 \pi R} \Rightarrow \ L = \frac{\mu_0 R}{2}$ .

Si noti che l'induttanza $\displaystyle L$ di un anello è proporzionale al suo raggio $\displaystyle R$ , ovvero $\displaystyle L \propto R$ , perché, stando alla relazione $\displaystyle \Phi = LI$ , il flusso magnetico $\displaystyle \Phi$ attraverso il piano dell'anello è direttamente proporzionale al raggio $\displaystyle R$ , dunque $\displaystyle \Phi \propto R$ . Ciò è dovuto al fatto che il modulo del campo magnetico $\displaystyle B$ è inversamente proporzionale a $\displaystyle R$ (diminuisce all'aumentare del raggio, in modo inversamente proporzionale), per cui la relazione tra induzione del campo magnetico e dimensioni geometriche è $\displaystyle B \propto \frac{1}{R}$ , e l'area $\displaystyle A$ della sezione trasversale è direttamente proporzionale a $\displaystyle R^2$ (aumenta proporzionalmente con il quadrato del raggio), quindi la relazione tra area e dimensioni geometriche è $\displaystyle A \propto R^2$ .

Ora, si supponga di considerare un altro anello che abbia $\displaystyle n$ -volte le dimensioni dell'anello originale, ovvero che il suo raggio sia $\displaystyle R_n = nR$ , la sua area sia $\displaystyle A_n = \pi (nR)^2 = n^2 \pi R^2$ , e la sua lunghezza sia $\displaystyle \ell_n = 2 \pi n R$ . Inserendo questi valori nella formula, si ottiene che, per $\displaystyle N = 1$ , l'induttanza di questo anello è:

$\displaystyle L_n = \frac{\mu_0 N^2 A_n}{\ell_n}$ $\Rightarrow$ $\displaystyle L_n = \frac{\mu_0 n^2 \pi R^2}{2 \pi n R}$ $\Rightarrow$ $\displaystyle L_n = \frac{\mu_0 n R}{2}$ . Poiché $\displaystyle L$ è uguale a: $\displaystyle L = \displaystyle \frac{\mu_0 R}{2}$ , si ottiene:

$\displaystyle \color{Red} \boxed{\color{Black} L_n = nL}$

Quindi, l'induttanza di un anello ridimensionato è $n$ volte l'induttanza dell'anello originale.

Più in generale, si può dunque scrivere:

$\displaystyle \color{Red} \boxed{\color{Black} L (nR) = nL (R)}$

L'inserimento di superconduttori all'interno (di minori dimensioni) o all'esterno (di maggiori dimensioni) di un anello originario in modo che i loro piani e centri coincidano è il caso di anelli concentrici e complanari, i quali compongono un incastro grazie al quale l'anello di partenza modifica la propria auto-induttanza a seconda della spira a contatto con esso. L'interesse del problema è calcolare l'induttanza $L_2$ di un anello di raggio $R$ e auto-induttanza $L$ quando esso venga introdotto all'interno di un anello superconduttore di dimensioni doppie (cioè, di raggio $2R$ ), dopo che all'interno della spira conduttrice stessa sia stato inserito un disco superconduttore di dimensioni dimezzate (cioè, di raggio $\frac{R}{2}$ ) tale da rendere pari a $L_1$ l'auto-induttanza dell'anello di dimensioni medie. Pertanto, si dovranno trovare possibili metodi per mettere in correlazione le tre correnti $I$ , $I_1$ e $I_2$ che fluiscono, rispettivamente, nell'anello conduttore di raggio $R$ , nella spira superconduttrice interna di raggio $\frac{R}{2}$ e nell'anello superconduttore esterno di raggio $2R$ : tramite le induttanze $L$ , $L_1$ e $L_2$ del conduttore, esse saranno ricondotte alla valutazione dei flussi $\Phi_1$ e $\Phi_2$ del campo magnetico attraverso il piano dell'anello di raggio $R$ in presenza delle spire di raggi $\frac{R}{2}$ e $2R$ , rispettivamente. Per calcolare questi ultimi, tuttavia, è necessario considerare, in via preliminare, i flussi magnetici attraverso il comune piano con regione avente raggio esterno $R$ e raggio interno $\frac{R}{2}$ (tale flusso, che si chiamerà $\Phi_{\frac{R}{2},R} ^ {int,ext}$ , è propedeutico per il calcolo del flusso $\Phi_1$ ) e di una regione avente raggio esterno $2R$ e raggio interno $R$ (tale flusso, che si indicherà con $\Phi_{2R,R} ^ {ext,int}$ , sarà necessario per la valutazione del flusso $\Phi_2$ ). Tra il calcolo dei flussi attraverso le sole regioni dell'anello aventi raggio interno minore e raggio esterno maggiore, e quello dei flussi attraverso il piano dell'anello in presenza dei due superconduttori, il passaggio intermedio è dato - come si potrebbe presumere - dal calcolo dei flussi netti, costanti a $0$ , $\Phi_{net, \frac{R}{2}} ^ {int}$ e $\Phi_{net, 2R} ^ {ext}$ attraverso le regioni interna (di raggio $\frac{R}{2}$ ) ed esterna (di raggio $2R$ ), rispettivamente, delimitate dagli anelli superconduttori (di uguali rispettive misure).

Il flusso $\Phi_{tot}$ del campo magnetico attraverso il piano dell'anello di raggio $R$ avente induttanza $L$ e in cui scorra una corrente $I$ è pari a: $\Phi_{tot} = LI$ . Pertanto:

1) il flusso $\Phi_{\frac{R}{2}} ^ {int}$ del campo magnetico attraverso una regione interna all'anello originario (di raggio $R$ ) assimilabile a una spira circolare di raggio $\frac{R}{2}$ , ad esso complanare e concentrica, sarà una frazione positiva del flusso totale $\Phi_{tot}$ , definita da un fattore moltiplicativo $k_1 < 1$ tale che $\Phi_{\frac{R}{2}} ^ {int} = k_1 \Phi_{tot} < \Phi_{tot}$ .

2) il flusso $\Phi_{2R} ^ {ext}$ del campo magnetico attraverso una regione esterna all'anello originario (di raggio $R$ ) assimilabile a un disco circolare di raggio $2R$ , ad esso complanare e concentrico, sarà, in modo analogo al precedente, una frazione positiva del flusso totale $\Phi_{tot}$ , definita - questa volta - da un fattore moltiplicativo $k_2 < 1$ tale che $\Phi_{2R} ^ {ext} = k_2 \Phi_{tot} < \Phi_{tot}$ .

Dunque:

1) $\Phi_{\frac{R}{2}} ^ {int} = k_1 \Phi_{tot} = k_1 LI$ , con $k_1 < 1$ .
2) $\Phi_{2R} ^ {ext} = k_2 \Phi_{tot} = k_2 LI$ , con $k_2 < 1$ .

Da ciò si evince che $k_1$ è il fattore che determina il flusso $\Phi_{2R,\frac{R}{2}}$ dell'anello di raggio $2R$ dovuto a quello di raggio $\frac{R}{2}$ , e che $k_2$ è il fattore che definisce il flusso $\Phi_{\frac{R}{2}, 2R}$ dell'anello di raggio $\frac{R}{2}$ dovuto a quello di raggio $2R$ .

In conclusione, per quanto concerne 1), il flusso $\Phi_{\frac{R}{2},R} ^ {int,ext}$ del campo magnetico attraverso la regione di piano con raggio esterno $R$ e raggio interno $\frac{R}{2}$ sarà dato dalla differenza tra flusso totale $\Phi_{tot}$ e flusso interno $\Phi_{\frac{R}{2}} ^ {int}$ attraverso il cerchio di raggio $\frac{R}{2}$ . In simboli:

$\Phi_{\frac{R}{2},R} ^ {int,ext} = \Phi_{tot} - \Phi_{\frac{R}{2}} ^ {int}$ $\Rightarrow \$ $\Phi_{\frac{R}{2},R} ^ {int,ext} = \Phi_{tot} - k_1 \Phi_{tot} = (1-k_1) \Phi_{tot}$ $\Rightarrow \$ $\Phi_{\frac{R}{2},R} ^ {int,ext} = (1-k_1) LI$ .

Il flusso netto interno $\Phi_{net, \frac{R}{2}} ^ {int}$ attraverso la regione interna di raggio $\frac{R}{2}$ dell'anello conduttore delimitato dal superconduttore di medesimo raggio è dato dalla differenza tra il flusso $\Phi_{\frac{R}{2}} ^ {int}$ attraverso il cerchio di raggio $\frac{R}{2}$ e il flusso $\Phi_{\frac{R}{2}}^{superconducting}$ attraverso l'anello superconduttore interno di raggio $\frac{R}{2}$ , pari a $\Phi_{\frac{R}{2}}^{superconducting} = L \bigg(\frac{R}{2} \bigg) I_1$ .
Poiché si è dimostrato che l'induttanza di un anello avente dimensioni $n$ -volte maggiori rispetto a un anello di partenza è pari a $n$ volte l'induttanza di quest'ultimo, allora, per un anello avente dimensioni geometriche dimezzate rispetto ad un corrispettivo originario, ovvero per $n = \frac{1}{2}$ , si ha:

$L (nR) = n L(R)$ $\Rightarrow \$ $L \bigg(\frac{R}{2}\bigg) = \frac{L}{2}$ . Sostituendo in $\Phi_{\frac{R}{2}}^{superconducting}$ , si ha:

$\Phi_{\frac{R}{2}}^{superconducting} = \frac{L}{2} I_1$ . Pertanto:

$\Phi_{net, \frac{R}{2}} ^ {int} = \Phi_{\frac{R}{2}} ^ {int} - \Phi_{\frac{R}{2}}^{superconducting}$ , con $\Phi_{net, \frac{R}{2}} ^ {int} = 0$ . Dunque:

$\Phi_{\frac{R}{2}} ^ {int} - \Phi_{\frac{R}{2}}^{superconducting} = 0$ $\Rightarrow \$ $\Phi_{\frac{R}{2}} ^ {int} = \Phi_{\frac{R}{2}}^{superconducting}$ $\Rightarrow \$ $k_1 \Phi_{tot} = \frac{L}{2} I_1 \Rightarrow \frac{L}{2} I_1 = k_1 LI$ $\space$ $\space$ $\space$ $(1)$ .

Poiché la spira di raggio $R$ in cui scorre corrente $I$ assume induttanza $L_1$ quando al suo interno venga posizionato l'anello superconduttore di raggio $\frac{R}{2}$ , allora il flusso $\Phi_1$ del campo magnetico attraverso il piano della prima, corrispondente al flusso totale relativo all'anello originario in presenza del superconduttore più piccolo, è dato da: $\Phi_1 = L_1 I$ . Questo stesso flusso è dato dalla somma tra il flusso $\Phi_{\frac{R}{2},R} ^ {int,ext} = (1-k_1) LI$ del campo magnetico attraverso la regione di piano avente raggio esterno $R$ e raggio interno $\frac{R}{2}$ e il flusso $\Phi_{\frac{R}{2}, 2R}$ attraverso l'anello superconduttore di raggio $\frac{R}{2}$ dovuto a quello di raggio $2R$ . Quest'ultimo flusso è dato da una frazione del flusso $\Phi_{\frac{R}{2}}^{superconducting}$ attraverso l'anello superconduttore interno di raggio $\frac{R}{2}$ , definita - come già analizzato - dal coefficiente $k_2$ . Dunque: $\Phi_{\frac{R}{2}, 2R} = k_2 \Phi_{\frac{R}{2}}^{superconducting} = k_2 \frac{L}{2} I_1$ . In definitiva, si ha:

$\Phi_1 = \Phi_{\frac{R}{2},R} ^ {int,ext} + \Phi_{\frac{R}{2}, 2R}$ $\Rightarrow \$ $\Phi_1 = (1-k_1) LI + k_2 \frac{L}{2} I_1$ .

Eguagliando le due espressioni per $\Phi_1$ , si ha:

$\Phi_1 = L_1 I = (1-k_1) LI + k_2 \frac{L}{2} I_1$ $\Rightarrow \$ $L_1 I = (1-k_1) LI + k_2 \frac{L}{2} I_1$ $\space$ $\space$ $(2)$

Sostituendo la $(1)$ nella $(2)$ , si ha:

$L_1 I = (1-k_1) LI + k_2 k_1 LI$ $\Rightarrow \$ $L_1 I = (1-k_1 + k_1 k_2) LI$ $\Rightarrow\$ $L_1 = (1-k_1 + k_1 k_2) L$ $\Rightarrow \$ $\boxed{L_1 = [1-k_1 (1-k_2)] L}$ .

Tramite l'applicazione della mutua induzione, è possibile pervenire, per $L_1$ , ad un risultato simile a quello appena calcolato con un numero di passaggi decisamente minore. Sia $M$ il coefficiente di mutua induttanza dei due circuiti elettricamente separati costituiti dalla spira di raggio $R$ e dall'anello superconduttore di raggio $\frac{R}{2}$ , tale che $M_{\frac{R}{2},R} = M_{R,\frac{R}{2}} = M$ , cioè che il coefficiente di mutua induttanza $M_{R,\frac{R}{2}}$ dell'anello conduttore di raggio $R$ sul superconduttore di raggio $\frac{R}{2}$ sia uguale a quello $M_{\frac{R}{2},R}$ di quest'ultimo sul primo. Pertanto, il flusso interno $\Phi_{\frac{R}{2}}^{int}$ attraverso il cerchio di raggio $\frac{R}{2}$ è dato dal prodotto tra il coefficiente di mutua induttanza $M$ e la corrente $I$ che scorre attraverso l'anello originario. In simboli: $\Phi_{\frac{R}{2}}^{int} = MI$ .

Analogamente a quanto visto precedentemente con l'espressione $(1)$ , si ha che:

$\Phi_{net, \frac{R}{2}} ^ {int} = \Phi_{\frac{R}{2}} ^ {int} - \Phi_{\frac{R}{2}}^{superconducting}$ , con $\Phi_{\frac{R}{2}}^{superconducting} = \frac{L}{2} I_1$ e $\Phi_{net, \frac{R}{2}} ^ {int} = 0$ . Dunque:

$\Phi_{\frac{R}{2}} ^ {int} - \Phi_{\frac{R}{2}}^{superconducting} = 0$ $\Rightarrow \$ $\Phi_{\frac{R}{2}} ^ {int} = \Phi_{\frac{R}{2}}^{superconducting}$ $\Rightarrow \$ $MI = \frac{L}{2} I_1 \Rightarrow \frac{L}{2} I_1 = MI$ , da cui:

$I_1 = 2 \frac{M}{L} I$ $\space$ $\space$ $\space$ $(1.1)$ .

Come discusso prima, il flusso $\Phi_1$ del campo magnetico attraverso il piano dell'anello di raggio $R$ , corrispondente al flusso totale relativo all'anello originario in presenza del superconduttore di raggio $\frac{R}{2}$ , è dato da: $\Phi_1 = L_1 I$ . Questo stesso flusso è dato dalla differenza tra il flusso $\Phi_{tot} = LI$ del campo magnetico attraverso il piano dell'anello di raggio $R$ avente induttanza $L$ e in cui scorra una corrente $I$ e il flusso $\Phi_{\frac{R}{2},R} ^ {int,ext superconducting} = MI_1$ del campo magnetico attraverso la regione di piano avente raggio esterno $R$ e raggio interno $\frac{R}{2}$ e internamente delimitata dall'anello superconduttore di raggio $\frac{R}{2}$ . Pertanto:

$\Phi_1 = \Phi_{tot} - \Phi_{\frac{R}{2},R} ^ {int,ext superconducting} \Rightarrow \ \Phi_1 = LI - MI_1$ .

Uguagliando le due espressioni per $\Phi_1$ , si ha:

$\Phi_1 = L_1 I = LI - MI_1 \Rightarrow \ L_1 I = LI - MI_1$ $\space$ $\space$ $(2.1)$ .

Sostituendo la $(1.1)$ nella $(2.1)$ , si ha:

$L_1 I = LI - MI_1 \Rightarrow \ L_1 I = LI - 2 \frac{M^2}{L} I \Rightarrow \ \boxed{L_1 = L - \frac{2M^2}{L}}$ .

Riprendendo 2), il flusso $\Phi_{2R,R} ^ {ext, int}$ del campo magnetico attraverso la regione di piano con raggio esterno $2R$ e raggio interno $R$ sarà dato dalla differenza tra flusso totale $\Phi_{tot}$ e flusso esterno $\Phi_{2R} ^ {ext}$ attraverso il cerchio di raggio $2R$ . In simboli:

$\Phi_{2R,R} ^ {ext, int} = \Phi_{tot} - \Phi_{2R} ^ {ext}$ $\Rightarrow \$ $\Phi_{2R,R} ^ {ext,int} = \Phi_{tot} - k_2 \Phi_{tot} = (1-k_2) \Phi_{tot}$ $\Rightarrow \$ $\Phi_{2R,R} ^ {ext, int} = (1-k_2) LI$ .

Il flusso netto esterno $\Phi_{net, 2R} ^ {ext}$ attraverso la regione esterna di raggio $2R$ dell'anello conduttore delimitato dal superconduttore dello stesso raggio è dato dalla differenza tra il flusso $\Phi_{2R,R} ^ {ext, int}$ attraverso la regione avente raggio esterno $2R$ e raggio interno $R$ , e il flusso $\Phi_{2R}^{superconducting}$ attraverso l'anello superconduttore esterno di raggio $2R$ , pari a $\Phi_{2R}^{superconducting} = L \bigg(2R \bigg) I_2$ .
Poiché si è dimostrato che l'induttanza di un anello avente dimensioni $n$ -volte maggiori rispetto a un anello di partenza è pari a $n$ volte l'induttanza di quest'ultimo, allora, per un anello avente dimensioni geometriche doppie rispetto ad un corrispettivo originario, ovvero per $n = 2$ , si ha:

$L (nR) = n L(R)$ $\Rightarrow \$ $L \bigg(2R \bigg) = 2L$ . Sostituendo in $\Phi_{2R} ^{superconducting}$ , si ha:

$\Phi_{2R}^{superconducting} = 2L I_2$ . Pertanto:

$\Phi_{net, 2R} ^ {ext} = \Phi_{2R,R} ^ {ext, int} - \Phi_{2R}^{superconducting}$ , con $\Phi_{net, 2R} ^ {ext} = 0$ . Dunque:

$\Phi_{2R,R} ^ {ext, int} - \Phi_{2R}^{superconducting} = 0$ $\Rightarrow \$ $\Phi_{2R,R} ^ {ext, int} = \Phi_{2R}^{superconducting}$ $\Rightarrow \$ $(1-k_2) \Phi_{tot} = 2L I_2 \Rightarrow 2L I_2 = (1-k_2) LI$ $\space$ $\space$ $\space$ $(1.2)$

Poiché la spira di raggio $R$ in cui scorre corrente $I$ assume induttanza $L_2$ quando al suo interno venga posizionato l'anello superconduttore di raggio $2R$ , allora il flusso $\Phi_2$ del campo magnetico attraverso il piano della prima, corrispondente al flusso totale relativo all'anello originario in presenza del superconduttore più grande, è dato da: $\Phi_2 = L_2 I$ . Questo stesso flusso è dato dalla differenza tra il flusso $\Phi_{tot}$ del campo magnetico attraverso il piano dell'anello di raggio $R$ avente induttanza $L$ e in cui scorre una corrente $I$ , e il flusso $\Phi_{2R,\frac{R}{2}}$ attraverso l'anello superconduttore di raggio $2R$ dovuto a quello di raggio $\frac{R}{2}$ . Quest'ultimo flusso è dato da una frazione del flusso $\Phi_{2R}^{superconducting}$ attraverso l'anello superconduttore esterno di raggio $2R$ , definita - come già analizzato - dal coefficiente $k_1$ . Dunque: $\Phi_{2R, \frac{R}{2}} = k_1 \Phi_{2R}^{superconducting} = 2k_1 L I_2$ . In definitiva, si ha:

$\Phi_2 = \Phi_{tot} - \Phi_{2R, \frac{R}{2}}$ $\Rightarrow \$ $\Phi_2 = LI - 2k_1 L I_2$ .

Eguagliando le due espressioni per $\Phi_2$ , si ha:

$\Phi_2 = L_2 I = LI - 2k_1 L I_2$ $\Rightarrow \$ $L_2 I = LI - 2k_1 L I_2$ $\space$ $\space$ $(2.2)$

Sostituendo la $(1.2)$ nella $(2.2)$ , si ha:

$L_2 I = LI - 2k_1 L I_2$ $\Rightarrow \$ $L_2 I = LI - k_1 (1-k_2) LI$ $\Rightarrow\$ $L_2 I = [1-k_1 (1-k_2)] L I$ $\Rightarrow \$ $\boxed{L_2 = [1-k_1 (1-k_2)] L}$ .

Anche per $L_2$ è possibile giungere ad un risultato simile a quello calcolato mediante un procedimento analogo al calcolo di $L_1$ , cioè mediante la valutazione della mutua induzione. Se $M$ è il coefficiente di mutua induttanza della spira di raggio $R$ e dell'anello superconduttore di raggio $\frac{R}{2}$ , tale che $M_{\frac{R}{2},R} = M_{R,\frac{R}{2}} = M$ , allora il coefficiente di mutua induttanza dell'anello conduttore di raggio $R$ e del superconduttore di raggio $2R$ , sarà $kM$ , tale che $M_{2R,R} = M_{R,2R} = kM$ , cioè che il coefficiente di mutua induttanza $M_{R, 2R}$ dell'anello conduttore di raggio $R$ sul superconduttore di raggio $2R$ sia uguale a quello $M_{2R,R}$ di quest'ultimo sul primo. Siano 1 e 2 le configurazioni circuitali composte da spira conduttrice di raggio $R$ e anello superconduttore di raggio $\frac{R}{2}$ , e da anello conduttore di raggio $R$ e superconduttore di raggio $2R$ , rispettivamente: il fattore moltiplicativo $k > 0$ si calcolerà in modo che il prodotto delle dimensioni dei circuiti in configurazione 2 sia uguale al prodotto delle dimensioni dei circuiti in configurazione 1 ingrandite $k$ volte. Pertanto, con $R_1^{int} = \frac{R}{2}$ , $R_1^{est} = R$ e $R_2^{int} = R$ , $R_2^{est} = 2R$ , si ha:

$kR_1^{int} \cdot kR_1^{est} = R_2^{int} \cdot R_2^{est}$ $\Rightarrow \$ $k\frac{R}{2} \cdot k R = R \cdot 2R$ $\Rightarrow \$ $k^2 \frac{R^2}{2} = 2R^2$ $\Rightarrow \$ $k^2 = 4$ $\Rightarrow \$ $k = \pm 2$ $\Rightarrow \$ $k = 2$ dal momento che $k > 0$ . Perciò, $M_{2R,R} = M_{R,2R} = 2M$

Pertanto, il flusso esterno $\Phi_{2R}^{ext}$ attraverso il cerchio di raggio $2R$ è dato dal prodotto tra il coefficiente di mutua induttanza $2M$ e la corrente $I$ che scorre attraverso l'anello originario. In simboli: $\Phi_{2R}^{ext} = 2MI$ .

Analogamente a quanto visto precedentemente con l'espressione $(1.2)$ , si ha che:

$\Phi_{net, 2R} ^ {ext} = \Phi_{2R} ^ {ext} - \Phi_{2R}^{superconducting}$ , con $\Phi_{2R}^{superconducting} = 2L I_2$ e $\Phi_{net, 2R} ^ {ext} = 0$ . Dunque:

$\Phi_{2R} ^ {ext} - \Phi_{2R}^{superconducting} = 0$ $\Rightarrow \$ $\Phi_{2R} ^ {ext} = \Phi_{2R}^{superconducting}$ $\Rightarrow \$ $2MI = 2L I_2 \Rightarrow \ LI_2 = MI$ , da cui:

$I_2 = \frac{M}{L} I$ $\space$ $\space$ $\space$ $(1.3)$

Come discusso prima, il flusso $\Phi_2$ del campo magnetico attraverso il piano dell'anello di raggio $R$ , corrispondente al flusso totale relativo all'anello originario in presenza del superconduttore di raggio $2R$ , è dato da: $\Phi_2 = L_2 I$ . Questo stesso flusso è dato dalla differenza tra il flusso $\Phi_{tot} = LI$ del campo magnetico attraverso il piano dell'anello di raggio $R$ avente induttanza $L$ e in cui scorra una corrente $I$ e il flusso $\Phi_{2R,R} ^ {ext,int superconducting} = 2MI_2$ del campo magnetico attraverso la regione di piano avente raggio esterno $2R$ e raggio interno $R$ ed esternamente delimitata dall'anello superconduttore di raggio $2R$ . Pertanto:

$\Phi_2 = \Phi_{tot} - \Phi_{2R,R} ^ {ext,int superconducting} \Rightarrow \ \Phi_2 = LI - 2MI_2$ .

Uguagliando le sue espressioni per $\Phi_2$ , si ha:

$\Phi_2 = L_2 I = LI - 2MI_2 \Rightarrow \ L_2 I = LI - 2MI_2$ $\space$ $\space$ $(2.3)$ .

Sostituendo la $(1.3)$ nella $(2.3)$ , si ha:

$L_2 I = LI - 2MI_2 \Rightarrow \ L_2 I = LI - 2 \frac{M^2}{L} I \Rightarrow \ \boxed{L_2 = L - \frac{2M^2}{L}}$ .

Confrontando le due espressioni per $L_1$ e $L_2$ , si può notare come esse siano uguali. Dunque, si giunge alla relazione:

$\color{Red} \boxed{\color{Black} L_2 = L_1}$ .

Amazing!

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