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Una macchina scivola senza attrito giù per una rampa liscia discendente descritta da una funzione h(x) decrescente rispetto all'ascissa x compresa fra 0 ed L. La rampa discendente termina per x=L ed è seguita senza discontinuità da un anello della morte liscio di raggio R su cui la macchina prosegue la sua corsa ora ascendente. L'accelerazione di gravità è g diretta verso il basso e perpendicolare all'asse x. La macchina parte da ferma dalla quota h(0)=.
a) Determinare la quota minima per cui la macchina percorre l'anello senza mai staccarsene
b) Considerata la rampa discendente con determinare la componente della velocità della macchina lungo l'asse x , cioè , in funzione di h(x) e h'(x).

PS mi piacerebbe riportare una figura in qualche testo; c'è un modo semplice per farlo?

Per la prima richiesta il risultato mi viene ; se confermi procedo alla giustificazione.
Per il secondo punto ho bisogno di una precisazione. Dire:

Higgs ha scritto: ↑

14 lug 2023, 17:50

in funzione di h(x) e h'(x).

Significa conoscere e in ogni punto (e dunque la posizione iniziale della particella, data da e l'inclinazione della retta tangente alla curva in ogni punto), ma non conoscere velocità iniziale del corpo? Grazie

Confermo il risultato di Torros per il primo punto.
Forse ho trovato la soluzione del secondo.
Se mi date il via libero la scrivo, altrimenti lascio fare a Torros

a Torros: il risultato è corretto. Per il resto la velocità iniziale è nota perché il testo dice che parte da ferma.
a Leccese: non so come la pensi Pigkappa ma per quanto ne so tu non hai bisogno di nessuna autorizzazione perché nessuno ha impedito a Torros di postare la sua soluzione del secondo quesito

Primo punto.
Sulla macchina agiscono sempre la forza peso, la forza centrifuga e la reazione vincolare. Nel punto più alto del percorso, forza peso e forza centrifuga hanno versi opposti e perché la macchina rimanga attaccata al terreno si deve avere

e quindi

Da cui si risolve per , ovvero la velocità nel punto più alto:

L'energia in questa situazione è:

Questa, per la conservazione dell'energia, deve essere la stessa della situazione iniziale, dove la quota è e la velocità nulla:

Uguagliando le due espressioni si ricava


Secondo punto
La velocità può essere come sempre scomposta in due componenti:

Moltiplicando entrambi i membri per si ottiene:

Ora divido per :

Ora, è , mentre è .
Riscrivendo:

Per trovare , facciamo di nuovo delle considerazioni energetiche. L'energia totale del sistema è conservata e vale:

come nel primo punto.
Per una ascissa generica, invece, abbiamo:

Uguagliando le due espressioni e risolvendo per otteniamo:

Sostituendo nell'equazione trovata prima, concludiamo che



Proviamola su due casi particolari:
1) se , ovviamente troviamo , in quanto la velocità iniziale era nulla per ipotesi.
2) se , per come abbiamo impostato il problema, dovrebbe essere e , in quando la curva subito prima del giro della morte è piana; di conseguenza , ovvero l'intera velocità della macchina è diretta lungo l'asse delle ascisse.

Il risultato trovato dovrebbe potersi estendere anche al caso in cui la velocità iniziale sia diversa da zero.

Higgs ha scritto: ↑

15 lug 2023, 17:31

Per il resto la velocità iniziale è nota perché il testo dice che parte da ferma.

Ah, perfetto. Ho provato il secondo punto dopo un po' di tempo e mi ero completamente dimenticato della frase che specifica le condizioni iniziali .

Higgs ha scritto: ↑

15 lug 2023, 17:31

a Leccese: non so come la pensi Pigkappa ma per quanto ne so tu non hai bisogno di nessuna autorizzazione perché nessuno ha impedito a Torros di postare la sua soluzione del secondo quesito

Assolutamente. Ho creato problemi io scrivendo la soluzione del primo. Avrei prima dovuto chiedere le informazioni sul secondo quesito e successivamente postare la soluzione completa. Mi scuso con Leccese che aveva trovato la soluzione per primo e lo invito dunque a postare anche la soluzione del primo punto per essere completamente legittimato a prendere il testimone.

Perfetto, allora modifico il messaggio e scrivo anche il primo punto, così è tutto insieme.

Ho modificato.
Aspettiamo conferma da Higgs.

Il tuo risultato Leccese è ora completo e corretto A te la staffetta|