307. L'eclisse delle due lune

[Francesco Leccese]

Supponete che la Terra abbia un secondo satellite naturale, chiamato Luna2 e identico alla Luna, ma posto a una distanza media pari al doppio della distanza media Terra-Luna, e che il suo piano orbitale coincida con il piano orbitale della Luna. Ogni quanto tempo un osservatore posto sulla Terra vedrebbe la Luna2 perfettamente allineata dietro la Luna? A quanto ammonterebbe questo intervallo di tempo se il moto orbitale della Luna2 attorno alla Terra fosse retrogrado? Considerate le orbite della Luna e della Luna2 circolari.
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Dati necessari:
Semiasse maggiore dell'orbita della Luna =
Periodo siderale della Luna =

Nota (rettifica): il problema richiede di trovare ogni quanto tempo è possibile osservare un'eclisse in generale dalla Terra, non da una stessa località. Il dato relativo al periodo di rotazione della Terra è quindi superfluo.

[Francesco Leccese]

In assenza di risposte, domani intorno a quest'ora pubblicherò un hint

[Higgs]

Approfitto di questa tua intenzione perché In realtà da un paio di giorni sono di fronte ad un problema. Io interpreto che il senso della Nota sia quello di non cercare sovrapposizioni (eclissi) in qualsiasi posizione ma nella stessa da cui si parte. Questo per me vorrebbe dire che se avviene un'eclisse poniamo con allineamento sull'asse x orizzontale, dobbiamo ricercare la prossima sullo stesso asse. Se questa interpretazione della tua Nota fosse corretta, vorrebbe dire che ciascuna delle due, nel periodo di eclisse, dovrebbe compiere un numero diverso ma intero di giri, ovvero che il rapporto fra i giri di Luna e di Luna2 sarebbe un numero razionale. Ma ora è proprio qui che mi casca l'asino. Secondo la terza legge di Keplero applicata alle 2 Lune, a me tornerebbe che il periodo di Luna2, che rappresenta il tempo impiegato da Luna2 a compiere un giro, è dove rappresenta il periodo della Luna di 27.322 giorni, uguale a quello della sua rotazione in modo da presentare a noi sempre la stessa faccia.. Ovvero il rapporto fra i due periodi è invece IRRAZIONALE. Quindi sembrerebbe che fosse impossibile che si riproducesse l'eclisse sull'asse x.
Mi auguro di aver male interpretato il testo e/o la Nota.

[Torros]

Io avevo capito in un altro modo Higgs. Penso si intenda che, stando in una stessa posizione sulla Terra, l’osservatore veda le due lune allineate nel cielo e, passato un certo periodo di tempo da ricavare, l’osservatore veda la stessa situazione in un altro punto del cielo. L’asse di allineamento non credo debba essere sempre lo stesso, almeno da come è scritto il testo. Mi chiedo tuttavia, se così fosse, come si possa trovare il tempo che divide le due osservazioni non disponendo delle condizioni iniziali.

[Higgs]

Scusa Torros per curiosità cosa vuol dire per te la Nota che raccomanda che non si tratti di eclissi qualsivoglia?

[Francesco Leccese]

Buongiorno,
ho rifatto i calcoli e ricontrollato l'esercizio. La nota che ho messo è errata, infatti si cerca non quanto tempo passa da un'eclisse a un'altra rispetto a uno stesso osservatore, ma in generale dalla Terra.
Mi scuso, perché avevo interpretato male l'esercizio. Adesso eliminerò/modificherò la nota.
Per quanto riguarda il periodo trovato da Higgs, , è corretto. Inoltre, per rispondere alla sua perplessità dovuta al rapporto irrazionale dei periodi, credo che la soluzione sia nel fatto che le due Lune non sono particelle ma corpi estesi, con un certo diametro apparente.
In ogni caso, questa informazione non è importante ai fini del nostro problema perché, appunto, non si cerca un'eclisse rispetto a un solo osservatore ma dalla Terra in generale.
Per mettere in chiaro una volta per tutte, si cerca quanto tempo passa tra un allineamento delle due Lune e l'altro rispetto alla Terra, e non è quindi necessario il dato relativo alla rotazione sul proprio asse di quest'ultima.
Se avete altre domande, non esitate a chiedere.

[Higgs]

Tento una mia soluzione visto anche che nessuno ci si prova....Ma non so se ora ho capito il nuovo testo e la nuova nota...
Essendo risulta facilmente che la velocità angolare di Luna2 sarà . Pertanto a partire da questo momento e immaginando che ci sia l'eclisse di Luna2 all'inizio sull'asse x, la Luna fa un giro completo in 27,322 giorni inseguita da Luna2 che ne fa invece circa un terzo. Ovviamente non si è verificata nessuna nuova eclisse non essendoci possibilità di sovrapposizione.. Se iniziamo a misurare il tempo t dopo T la nuova eclisse si verificherà quando la Luna e la Luna2 avranno compiuto lo stesso angolo cioè quando . Il periodo dell'eclisse è. Si può ricavare t dall'espressione dello stesso angolo cioè
da cui avremo il periodo di eclisse ovviamente maggiore di T.
Quando invece L2 è retrograda l'eclisse avviene quando i due angoli sono supplementari generando un periodo di eclisse minore di T in questo caso. Sarà il tempo facilmente determinato da In questo caso ricaviamo . Chiaramente si possono sostituire i valori numerici ricordando ancora che T=27,322 giorni da cui si possono dedurre ......

[Francesco Leccese]

È corretto!
Inserendo i dati si ottiene:
Per l'orbita prograda: t = 42.265 giorni
Per l'orbita retrograda: t = 20.185 giorni.
Il problema era dalla prova teorica della categoria Junior 2 dei Campionati Italiani di Astronomia di quest'anno. In fondo a questa pagina troverete le prove teoriche e pratiche di tutte le categorie:

http://www.campionatiastronomia.it/fina ... vincitori/

Sarebbe interessante ripetere i calcoli per il problema che avevo posto (erroneamente) all'inizio, cioè cercare ogni quanto è possibile osservare un'eclisse da una stessa località.
Ad ogni modo, a te la staffetta!