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È dato un solenoide cilindrico ideale di raggio fisso con asse orizzontale. Al suo interno è poggiato un cilindro di raggio e carico uniformemente con carica positiva. L'asse del cilindro è parallelo a quello del solenoide, è presente la gravità e il coefficiente di attrito tra il cilindro e la superficie interna del solenoide è abbastanza alto da impedire lo slittamento. Si comincia a far scorrere nel solenoide una corrente che cresce linearmente nel tempo. Guardando il sistema da una delle due basi del solenoide, la corrente scorre in senso antiorario. Qual è, in funzione di , il verso nel quale vediamo iniziare a muoversi il cilindro carico?

Siccome sembrano sinonimi chiedo di sapere se la carica è distribuita sulla superficie come se fosse un conduttore o nel volume vero e proprio come sembrerebbe da ciò che scrivi

Il cilindro è un isolante nel cui volume la carica è uniformemente distribuita.

Al momento non sono a casa, se il risultato è giusto posterò la soluzione completa più tardi. Avrei ottenuto che, osservando dalla base del testo, il cilindro si muove in senso orario per , antiorario per

Corretto, vai col procedimento appena puoi!

Mettiamoci in un sistema di coordinate cilindriche, dove punta dalla base da cui osserviamo (quella del testo) verso l'altra, è il versore radiale e è il versore tangenziale.
Innanzitutto troviamo il campo elettrico indotto: vista la simmetria cilindrica del sistema, entrambe le componenti del campo dipenderanno solo da :
Per il Teorema di Gauss, si avrà , dove è la superficie di un cilindro con asse di simmetria coincidente con quello del solenoide e è la sua area laterale; si ha quindi .
Per la Legge di Faraday, considerando una circonferenza di raggio il cui asse centrale coincide con l'asse di simmetria del solenoide, si ha , da cui .
Visto che è uniforme all'interno del solenoide e , si avrà
Le forze tangenziali agenti sul cilindro saranno quella elettrica dovuta al campo indotto e quella d'attrito, .
Per trovare la forza elettrica, scriviamo , dove è il vettore radiale con estremo sull'asse del cilindro. Si avrà quindi

Visto che la carica è uniformente distribuita, (per ogni in anche è in , quindi, grazie al fatto che , si annullano a coppie).
Segue che è data da .
Il momento torcente della forza elettrica rispetto al centro del cilindro è
Per gli stessi motivi di prima, si ha . Per quanto riguarda l'altro membro, si avrà
.
La condizione di non slittamento del cilindro è . Le equazioni cardinali diventano



Si ha infine , dove positiva in senso orario, negativa in senso antiorario.
Se si muove in senso orario, se rimane fermo, se si muove in senso antiorario.

Buona la soluzione, ti faccio solo notare che avresti potuto giustificare un po' meglio il calcolo del campo indotto nella prima parte (ad esempio, dicendo esplicitamente perchè puoi considerare nulla la carica nella legge di Gauss nonostante la presenza del cilindro) e che l'espressione:

DeoGratias ha scritto: ↑

1 mar 2022, 16:05

.

Non è del tutto corretta se non specifichi quale versore , che non è fisso, stai considerando. Dettagli a parte, le idee ci sono tutte, quindi a te la staffetta.

Vedo di precisare:
1) Le uniche forze in cui siamo interessati sono quelle esterne, ovvero la forza d'attrito e quella dovuta all'azione del campo elettrico indotto; di conseguenza non ci interessa quale sia il campo generato dalla carica sul cilindro, ma solo quello dovuto alla variazione di corrente. Possiamo quindi trovare quest'ultimo trascurando la presenza del cilindro carico.
2) In effetti la notazione che ho scelto non è delle migliori
Con (o meglio ) mi riferisco al versore tangente perpendicolare a , ovvero

Adesso è perfetto!

@DeoGratias
Mi ha molto interessato la tua soluzione che non era assolutamente alla mia portata. Lo dimostra anche il fatto he non capisco la configurazione dei vettori . Quando hai un minuto potresti farmi uno schizzo anche a mano libera? Grazie.