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La teoria della Relatività Generale è stata a lungo osteggiata e non creduta. Alcuni fenomeni potevano essere trattati con il solo uso della gravità di Newton, unita alla relatività speciale, e si pensava che la relatività generale fosse un mero esercizio di stile matematico. Ad esempio, la deflessione di un raggio di luce a causa della presenza di una stella può essere calcolata in entrambi i modi, ottenendo però risultati discordanti.

1) Un fotone si muove verso un corpo di massa ; calcolare l'angolo di deflessione dovuto a un potenziale newtoniano in funzione di e , la distanza minima tra fotone e stella.

Il potenziale "classico" che deriva dalle equazioni di Einstein per una massa puntiforme nel campo di una massa è , dove è il momento angolare.

2) Calcolare l'angolo di deflessione dovuto a questo potenziale: cosa ha di particolare rispetto al caso precedente?

Sbaglio o l'espressione dentro parentesi non torna dimensionalmente?

Luca Milanese ha scritto: ↑

18 dic 2021, 18:51

Sbaglio o l'espressione dentro parentesi non torna dimensionalmente?

Sì hai ragione, doveva essere invece che Grazie per la segnalazione

Tratterò il fotone classicamente come una particella puntiforme di massa . Suppongo inoltre , cosicché la deviazione subita dal fotone a causa della gravità è molto piccola e può essere calcolata sovrapponendo l'effetto della forza gravitazionale a una traiettoria rettilinea del fotone, la cui distanza minima da è . Questa approssimazione, benché non necessaria nel primo punto (poiché è nota l'espressione della traiettoria di una particella in un potenziale newtoniano), diventa molto utile nel secondo, a causa della forma del potenziale, e dà comunque lo stesso risultato al primo ordine in .
1) Sia la posizione di , la posizione del fotone e il punto della sua traiettoria rettilinea a distanza da . Quando l'angolo vale , la distanza vale , perciò la forza subita dal fotone ha modulo , e la sua componente perpendicolare alla traiettoria è . A questa forza corrrisponde un'accelerazione trasversale . Inoltre, la velocità del fotone lungo la retta può essere considerata costante e uguale a , perciò si ha:

Da cui:

A questo punto, integrando in da a , si ottiene , e l'angolo di deflessione può essere stimato come , che è molto minore di uno, consistentemente con l'assunzione fatta.
2) Procedendo come sopra, devo sommare alla deviazione già calcolata quella dovuta al termine aggiuntivo nel potenziale, ovvero, essendo il momento angolare del fotone rispetto a :

L'accelerazione trasversale corrispondente è data da:

Perciò:

Cioè il doppio della previsione "classica". In questo caso l'angolo totale di deflessione risulta allora:

Corretto
Aggiungerei che il punto 1 poteva essere svolto senza integrali (bisogna però ricordarsi una formula particolare). Inoltre, il punto 2 può essere risolto nello stesso modo che hai usato, ma approssimando la traiettoria a un'iperbole invece che a una retta (alla fine i risultati sono ovviamente gli stessi al prim'ordine). Se vuoi prova a fare questi piccoli aggiustamenti, altrimenti vai pure col 284!

1) In coordinate polari, è noto che la traiettoria di una massa puntiforme in un potenziale è data da:

Dove , è il momento angolare ed è l'energia dell'oggetto. Nel nostro caso, ed (trattando il fotone classicamente). L'angolo fra i due asintoti dell'iperbole è dato da , essendo , perciò l'angolo di cui devia la traiettoria del fotone è:

Per , e corrispondentemente , si ha:

Inoltre:

Da ciò si trova il risultato del messaggio precedente.
2) Come sopra, si ha

Dove nell'ultimo passaggio ho tenuto i termini di ordine minore in .

Ora è perfetto, vai con la staffetta!