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Sono dati due grandi piani paralleli, a distanza l'uno dall'altro, tenuti alle temperature e con . L'area dei piani è molto maggiore di . Lo spazio fra i due piani è riempito con un gas ideale di massa molare e densità molare . Si assuma che il libero cammino medio del gas in queste condizioni sia molto maggiore di , e si trascuri la radiazione di corpo nero. Si ipotizzi inoltre che, quando una particella di gas colpisce uno dei due piani, ne assume istantaneamente la temperatura. In queste condizioni, determimare o stimare (il coefficiente numerico può non essere esatto) il calore trasmesso per unità di area e di tempo fra i due piani.

Hint: considerare il moto di una particella di gas che "rimbalza" tra i due piani.

Sia x un asse perpendicolare ai due piani; userò il pedice per riferirmi alle particelle che si muovono dal piano caldo a quello freddo, per le altre.
Sia la velocità media (in modulo) delle molecole alla temperatura . Usando la distribuzione di Maxwell, si ottiene .
Nell'urto con uil piano più freddo, molecole trasmetteranno un calore e la velocità di ognuna cambierà da a (o viceversa nell'urto con il piano più caldo), senza però che vari il rapporto . Consideriamo tutte le particelle con lo stesso valore di (quindi con il vettore velocità inclinato dello stesso angolo rispetto all'asse x), e supponiamo di essere in uno stato stazionario, in cui l'intensità del flusso di calore è costante nel tempo: ciò è possibile solo se il numero di particelle che colpiscono il piano freddo in un tempo è pari al numero di quelle che colpiscono quello caldo. Detta quindi la densità molare di molecole che si muovono dal caldo al freddo, quella opposta, con , si dovrà avere

Di conseguenza, il contributo infinitesimo all'intensità del flusso dato dalle molecole con velocità lungo l'asse x compresa tra e è

dove indica il rapporto tra il numero di tali molecole e quello totale di molecole che si muovono dal piano caldo al piano freddo.
Perciò l'intensità totale sarà data da
dove è il valore medio della loro velocità di quest'ultime lungo l'asse x.
Visto che, per ognuna di queste molecole, si può scrivere , con compresi tra e , si avrà
Quindi,

Direi che ci siamo, la staffetta è tua, tuttavia ti invito a sostituire a ( è densità molare) e a rivedere meglio il tuo calcolo di , che è sbagliato e ti porta a un coefficiente numerico errato.

1) Sì, mi sono scordato un nel calcolo delle particelle che urtano il piano.
2) In effetti tornava strano anche a me
Correggerei così: consideriamo una semisfera di raggio unitario sezionata in due dal piano ; sia l'angolo di un vettore di modulo unitario formato con l'asse . La probabilità che la proiezione sull'asse x di questo vettore sia compresa tra e è . La stessa cosa può essere fatta con il vettore ; visto che , allora , quindi il risultato finale dovrebbe essere

Adesso è perfetto!

Mi rimane un dubbio: perché l'assunzione ? In linea teorica non dovrebbe funzionare lo stesso anche se le due temperature fossero vicine?

L'assunzione serviva solamente a permettere di scrivere il risultato in una forma più elegante, come
Chiaramente il tuo risultato vale anche per , e infatti dà per , come dovrebbe essere nel caso di equilibrio.