Una risposta qualitativa al quesito consistente nel descrivere la velocità dell'asse geometrico del cilindro in funzione della distanza da un punto arbitrario del piano può essere che l'asse geometrico effettua un moto roto-traslatorio: 1) nel sistema di riferimento relativo con origine nel centro O del cilindro che è fermo in questo sistema, l'asse geometrico ruota attorno all'asse del cilindro per O 2) nel sistema di riferimento fisso diciamo inerziale si sposta verso il basso con la stessa velocità del centro O. Quantitativamente
1)Siamo d'accordo che il CM del cilindro dista da O della quantità
. Inizialmente
è perpendicolare all'asse geometrico e tale rimane nella rotazione che è determinata dalla legge di Newton
g.r_{CM}sen\theta)
se
è il momento di inerzia e
è l'angolo di cui è ruotato rispetto alla posizione iniziale che era verso l'alto. Ovvero
r^2_{CM}.\frac{d^2\theta}{dt^2}=(M+m)g r_{CM} sen\theta)
. Moltiplicando ambo i membri per
e semplificando si ottiene
^2= \frac{2g}{r_{CM}}sen\theta.d\theta)
ovvero integrando
^2=\frac{2g}{r_{CM}}(1-cos\theta))
ovvero
}{r_{CM}}})
.
è la velocità angolare di rotazione dell'asse geometrico attorno al suo centro O, è diretta lungo l'asse del cilindro ed è una funzione periodica così come l'energia cinetica che si trasforma in potenziale e viceversa in questo sistema. Il suo modulo aumenta mentre il cilindro rotola senza strisciare sul piano inclinato. Infatti
2) Il momento del peso (M+m)g rispetto all'asse istantaneo di rotazione per il punto di contatto cilindro-piano inclinato è sempre positivo in senso orario anche se varia in intensità fra un miinimo ed un massimo. Ciò significa che l'accelerazione angolare del moto del cilindro lungo il piano è sempre positiva e quindi la velocità di O e del CM lungo il piano
è crescente come
. Il tratto percorso lungo il piano da O e dal CM sarà
. Se la quota di O all'inizio era h+r dopo questo tratto sarà h'+r con h-h'=
. E' possibile allora esprimere v in funzione di h' come chiede il quesito dato che h' rappresenta la distanza da un punto arbitrario del piano:quella fra O centro dell'asse geometrico e il piede della perpendicolare(arbitrario, dipendente da
) da esso condotta al piano orizzontale.
Si può applicare il principio di conservazione dell'energia, dato che il testo evidenzia che l'attrito volvente è trascurabile, fra l'inizio a quota h+r+
e la quota h'+r+
)
.
Dovrà essere
dove
 = (1/2)(M+m)v^2+(1/2)I_O \omega^2)
per le parti traslatoria e ruotante e
g [h-h'+r_{CM} (1-cos\theta)])
sempre per le parti traslatoria e ruotante.
Ricavando dalle due relazioni prima
e poi v mi risulta
g[h-h'+\frac{2r(M-m)(1-cos\theta)}{\pi.(M+m)}]}{(1/2)(M+m)+\frac{2(M-m)^2}{\pi^2(M+m)}}})
Questa mi pare la relazione che esprime la velocità traslatoria dell'asse geometrico in funzione di h' o se si volesse, vista la relazione di h' con h e
, in funzione di
medesimo. Questaè la mia interpretazione del complicato e oscuro testo.
P.S. Quanto tempo ho impiegato con il latex non digerito!
