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Un monociclista viaggia su un monociclo il cui punto più basso percorre una traiettoria circolare piana di raggio $R$ . Monociclista e monociclo assieme possono essere modellizati come un'asta rigida e uniforme di lunghezza $h$ , inclinata di un angolo $\theta$ verso il centro della circonferenza rispetto alla verticale. Supponendo che il coefficiente di attrito fra monociclo e terreno sia abbastanza alto, qual è la velocità angolare alla quale il monociclista percorre la traiettoria? La gravità è $\vec g$ .

Il centro di massa dell'asta sarà posto al centro della stessa, quindi questo si muoverà su una circonferenza di raggio $R'=R-\frac{1}{2}hsin\theta$ . Le uniche forze agenti sul sistema sono la forza peso, la reazione normale, entrambe verticali, e la forza d'attrito $f$ , che sarà radiale visto che $\omega$ è costante. Visto che $\vec{F}_{ext}=m\vec{a}_{cm}$ , $f=m(R-\frac{1}{2}hsin\theta)\omega^2$ .
Spostandoci in un s.d.r. solidale col monociclista, comparirà una forza apparente orizzontale di modulo pari a $f$ e verso opposto. Nel nuovo s.d.r. il monociclo è in equilibrio, quindi il momento torcente calcolato rispetto al punto di contatto con il suolo sarà nullo. Uguagliando i momenti della forza di gravità e della forza apparente, entrambi applicati al centro dell'asta, si ha $mgsin\theta=fcos\theta=mcos\theta\omega^2(R-\frac{1}{2}hsin\theta)$ , quindi $\omega=\sqrt{\frac{gtan\theta}{R-\frac{1}{2}hsin\theta}}$

Il risultato è sbagliato.

DeoGratias ha scritto: ↑
5 nov 2021, 0:46
entrambi applicati al centro dell'asta

Sicuro?

Non vorrei dire una sciocchezza ma credo che il momento della forza centripeta vada integrato e non semplicemente applicato al centro di massa

È esatto, anche se sarebbe più corretto riferirsi ad essa come alla forza centrifuga.

Perdonami Luca ma non sono sicuro di aver capito bene la correzione. Comunque provo a farlo, spero di non fare strafalcioni

$\mathrm{d\tau}= \omega ^{2}z\cos \theta (R-z\sin\theta) \lambda \mathrm{dz}$
e dall'analisi so che
$\tau = \int \mathrm{d\tau}$
sostituisco e trovo
$\tau = \int \mathrm{d\tau}= \int \omega ^{2}z\cos \theta (R-z\sin\theta) \lambda \mathrm{dz}= \frac{m\omega ^{2}\cos \theta Rh }{2} - \frac{m\omega ^{2}\cos \theta h^{2}\sin \theta }{3}$
La forza di gravità agisce sul centro di massa, quindi a una distanza $\frac{h}{2}$ dal punto di contatto, e il suo momento torcente ha modulo
$\tau = \frac{h}{2}mg\sin \theta$
eguagliando le due quantità
$\frac{m\omega ^{2}\cos \theta Rh }{2} - \frac{m\omega ^{2}\cos \theta h^{2}\sin \theta }{3}=\frac{h}{2}mg\sin \theta$
e, risolvendo rispetto a $\omega$ trovo
$\omega = \sqrt{\frac{g\tan \theta }{R-\frac{2}{3}h\sin \theta }}$

Esatto Rick! Vai pure col 278

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277. Monociclo!

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