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In una zona dello spazio è presente un campo magnetico uniforme e costante . Una particella di massa e carica , inizialmente ferma, è libera di muoversi nel campo. Tramite un interruttore è possibile indurre un campo elettrico uniforme per un tempo . Supponiamo che il campo elettrico venga acceso e spento con periodo (cioè viene acceso ai tempi e spento ai tempi ), e valgano le disuguaglianze .
a) Dimostrare che la quantità di moto della particella subito dopo l'-esimo spegnimento del campo elettrico può essere espresso come somma di vettori complanari di uguale modulo (indipendente da ) e tali che l'angolo tra e sia uguale all'angolo fra e .
b) Supponiamo ora che il campo elettrico alterni polarità: ai tempi è , ai tempi è . Qual è la velocità vettoriale media della particella calcolata su un tempo molto lungo rispetto a ?

#piùcomplessisulforum!

Intanto carico la prima parte, tra poco dovrei postare anche la seconda:
Parte a) Notiamo innanzitutto che dopo l'n-esimo spegnimento, la particella si muoverà su una circonferenza di raggio , dove è il modulo della quantità di moto n-esima, che rimane costante tra spegnimento e accensione. Lo spostamento angolare in ogni intervallo equivale all'angolo di cui ruota il vettore q.d.m. tra spegnimento e accensione, che è ; quindi l'angolo di rotazione rimane costante, indipendentemente da . L'impulso ricevuto a causa del campo sarà ; visto che , può essere considerato istantaneo.
La q.d.m. inizialmente sarà parallela ad (all'istante dell'accensione, ), poi ruoterà di un angolo nell'intervallo , quindi si sommerà con istantaneamente, diventanto . A sua volta, questo vettore ruoterà di in , poi si sommerà con e così via.
Si può usare il piano complesso per facilitare i conti, ponendo l'asse x coincidente con quello reale, l'asse y con quello immaginario. Il processo appena illustrato corrisponde a porre
Si può dimostrare facilmente per induzione che per ; segue che e che per intero.
Perciò, ogni vettore può essere scritto come somma di vettori di modulo , con tali che l'angolo tra e è sempre .

Per la prima parte ci siamo! (E sono contento di vedere che abbiamo pensato la stessa soluzione )

Per la seconda parte valgono gli stessi ragionamenti, solo che la relazione di ricorrenza diventerebbe
Quindi,
Il valore medio di dopo accensioni, con molto grande, sarà pari a , dove è il valore medio di tra la -esima e la -esima accensione. Visto che in tale intervallo ruota in maniera uniforme di un angolo ,
Da qui otterrei che per molto grande si può assumere , la media dei moduli della quantità di moto tenderebbe a un valore finito, mentre , visto che il vettore tenderebbe a continuare a ruotare senza convergere verso una direzione precisa, e quindi anche la velocità vettoriale media tenderebbe a zero

Va bene, puoi andare col 276, tuttavia ti faccio notare che non è vero che , perchè . Inoltre, non è neanche necessario considerare al posto di , dal momento che così facendo ti limiti a moltiplicare tutte le q.d.m. per una stessa quantità non nulla (non influendo sul fatto che la loro media risulti alla fine nulla).