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273: Gas di dipoli magnetici
Inviato: 21 set 2021, 21:13
da Luca Milanese
È dato un sistema di
dipoli magnetici indipendenti alla temperatura
e immersi in un campo magnetico esterno uniforme e costante
. I dipoli sono quantizzati: il momento di dipolo lungo
di ciascuno può assumere valore
o
.
a) Si determini qual è il valore medio dell'energia totale del sistema;
b) Per temperature molto grandi (quantificare cosa ciò voglia dire), qual è la capacità termica del sistema?
Re: 273: Gas di dipoli magnetici
Inviato: 28 set 2021, 22:20
da DeoGratias
Visto che i dipoli magnetici sono indipendenti, la loro energia dipenderà solo dal loro orientamento rispetto al campo: supponiamo ce ne siano
controallineati e
allineati; l'energia del sistema sarà
\mu B)
, con
.
Per la distribuzione di Boltzmann, la densità di probabilità che il sistema abbia energia
è
=Ae^{-\frac{U}{kT}})
, dove
è una costante. Per determinarla, la somma sui valori discreti di
deve essere 1:
=1=A\sum e^{-\frac{U}{kT}}=A\cdot exp(\frac{N\mu B}{kT})\sum_{m=0}^{N}(e^{-\frac{2\mu B}{kT}})^m \equiv Ae^{N\alpha}\sum_{m=0}^{N}e^{-2\alpha m})
, dove
.
Conoscendo il risultato della serie geometrica, si ottiene
\alpha}})
.
L'energia media
sarà:
U(m)=A\mu B\sum_{m=0}^{N}(2m-N)e^{(N-2m)\alpha}=-N\mu B+2\mu B \frac{1-e^{-2\alpha}}{1-e^{-2(N+1)\alpha}}\sum_{m=0}^{N}m(e^{-2\alpha})^m)
Per trovare
=\sum_{m=0}^{n}mx^m)
, riscriviamola come:
x^m-\frac{1-x^{n+1}}{1-x}=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\sum_{m=0}^n x^{m+1}-\frac{1-x^{n+1}}{1-x})
^2}(nx^{n+1}-(n+1)x^n+1))
Sfruttando questo risultato, ottengo
\alpha}-(N+1)e^{-2N\alpha}+1)}{(1-e^{-2\alpha})(1-e^{-2(N+1)\alpha})})))
Per trovare
, si deve avere
;
molto elevata presumo significhi
, così da poter espandere
attorno a
; in questo modo otterrei
\approx U_0-\frac{2\mu^2B^2(N+1)}{kT}+O((\frac{\mu B}{kT})^2)))
Seguirebbe che
-U(T)}{\Delta T}=C= \frac{2\mu^2B^2(N+1)}{kT^2})
Re: 273: Gas di dipoli magnetici
Inviato: 29 set 2021, 21:03
da Luca Milanese
Credo che tu abbia inteso male il senso della legge di Boltzmann: ad essere proporzionale a
è la probabilità che il sistema si trovi in ciascuno dei microstati con tale energia, quindi se, come nel nostro caso, ciascuna energia può essere ottenuta in più modi, non è vero che il sistema ha energia
con tale probabilità. Piuttosto ti consiglio di ragionare sui singoli dipoli: puoi determinare qual è il rapporto fra numero di dipoli orientati in un senso e numero di quelli orientati in senso opposto? Inoltre si può supporre
.
Re: 273: Gas di dipoli magnetici
Inviato: 4 ott 2021, 18:48
da Luca Milanese
Hint: ciascun dipolo può trovarsi in soli due stati: in uno dei due ha energia
, nell'altro
. La probabilità che si trovi nell'uno o nell'altro stato è data dalla legge di Boltzmann. Da qui si può ricavare il numero di dipoli presenti in media in ciascun orientamento e dedurne l'energia totale del sistema.
Re: 273: Gas di dipoli magnetici
Inviato: 6 ott 2021, 21:55
da DeoGratias
Se ho capito bene, ogni dipolo ha probabilità
di essere allineato col campo e
di essere controallineato. Visto che
, il rapporto tra il numero di quelli allineati e di quelli controallineati è
. Visto che il numero totale di dipoli si conserva, quelli controallineati sono
, gli allineati sono
. L'energia totale sarebbe quindi
=-N\mu B\frac{e^{\frac{2\mu B}{kT}}-1}{e^{\frac{2\mu B}{kT}}+1})
La capacità termica sarebbe
. Supponendo
, espandendo
con Taylor attorno a
diventa
 = -\frac{1}{2}N\mu B(\beta-\frac{1}{12} \beta^3+O(\beta^5)))
Quindi
=-\frac{1}{2}N\mu B (\frac{2\mu B}{kT}-\frac{1}{12}(\frac{2\mu B}{kT})^3+O((\frac{2\mu B}{kT})^5)))
.
Da qui,
-U(T)=(\frac{N\mu^2 B^2}{kT^2}-\frac{N\mu^4B^4}{k^3T^4}+O(\frac{N\mu^6 B^6}{k^5T^6}))dT \approx\frac{N\mu^2 B^2}{kT^2}dT)
visto che
è molto grande, quindi
Re: 273: Gas di dipoli magnetici
Inviato: 6 ott 2021, 22:47
da Luca Milanese
Sì esatto! Vai pure col prossimo
