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Un corpo di massa è in moto in un potenziale di Yukawa, dato da .
1) Trovare la densità di massa che origina questo potenziale
Al corpo, inizialmente in orbita circolare, viene data una piccola perturbazione radiale.
2) Il periodo dell'orbita e delle oscillazioni coincidono o si ha precessione?
3) Per quali le orbite sono stabili?

1) Il campo gravitazionale è dato da :

Dalla Legge di Newton, data l'evidente simmetria sferica del problema, si ha , essendo la massa totale contenuta in una sfera di raggio centrata nel centro attrattore che produce il potenziale dato. Perciò:

Da cui , cioè all'origine delle coordinate è presente una massa puntiforme che può essere formalizzata come una densità a Delta di Dirac . Per , la densità si ottiene come , perciò:

Dunque al di fuori del centro la densità di materia è negativa. La stessa espressione si poteva ottenere direttamente dall'equazione di Poisson .

2) e 3) Sia il modulo del momento angolare di rispetto all'origine: esso è chiaramente conservato se l'oggetto subisce una perturbazione radiale. All'equilibrio, nell'orbita circolare di raggio , la seconda legge di Newton dà:

Se l'equilibrio è stabile, si ha , dove è il potenziale efficace:


Perciò le orbite circolari stabili sono quelle di raggio
Il periodo dell'orbita è dato da
Mentre il periodo di un'oscillazione radiale si ottiene da
Perciò si ha e i due periodi non coincidono.

Tutto perfetto, a te il testimone!