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Abbiamo un cilindro isolato termicamente, tenuto in verticale, nel quale può scorrere senza attrito un pistone di massa e capacità termica trascurabili. Inizialmente il pistone si trova a metà altezza del cilindro e ciascuna delle due metà contiene moli di un gas perfetto biatomico a temperatura e pressione . Viene quindi appeso al pistone un peso "molto grande" (cosa significhi nel nostro caso sta a voi capirlo) che tende a far scendere il pistone. Dopo un tempo abbastanza lungo, le oscillazioni del pistone si sono smorzate e il peso è in equilibrio. Qual è adesso il volume della metà inferiore del cilindro?

Provo a risolverlo!

Per come la vedo io, "molto grande" significa "avente la stessa area del pistone".
Trattandosi di una trasformazione adiabatica, si può scrivere l'equazione:



Il volume iniziale si può esprimere in funzione delle altre variabili di stato e dunque si ottiene, al primo membro,



L'equilibrio comporta che la pressione finale del gas eguaglia quella del pistone con il pesetto (ecco da dove arriva l'intuizione del significato di "molto grande"). Infatti:



E dunque il volume finale sarà:



Spero di non aver scritto castronerie!

I risultati sono sbagliati, forse devo specificare alcune cose:
1) le due parti in cui il pistone divide il cilindro sono a tenuta stagna: non si scambiano particelle di gas.
2) non sono le dimensioni del peso a essere molto grandi, bensi l'intensità del peso (che quindi sarà molto maggiore di qualcosa che ha le dimensioni di una forza)
Chiedo scusa se non sono stato chiaro sin da subito.

Scusa ma solo oggi posso cominciare a pensare al tuo solito "problemino". Io penso che l'isolamento termico dall'esterno valga per tutto il gas ma non per i due comparti. Allora incontro una contraddizione: da una parte mi viene che la variazione di energia interna sia opposta nei due comparti in modo che non vari per il sistema: il peso cade comprime e riscalda una parte, dilata e raffredda nella stessa misura l'altra. Ma se la capacità del setto interposto è trascurabile non è che passa calore da un comparto all'altro in modo che all'equilibrio finale la temperatura dei due comparti è la stessa e non possa essere diversa? Come al solito è decisiva la corretta comprensione del testo...

Sei sicuro che l'energia del sistema sia solo quella associata al gas?

Ci dovrebbe essere anche quella del peso che si porta in una posizione pià bassa e quindi perde energia potenziale. Ma il pistone di capacità termica trascurabile non dovrebbe essere un isolante termico ma dovrebbe essere "trasparente" al passaggio di calore fra le due metà Grazie non ti chiederò più nulla...

Non penso di essere arrivato ad alcun risultato concreto, comunque provo a postare quello che ho provato.
Visto che il cilindro è isolato, l'energia totale del sistema (gas + potenziale grav.) si conserva.
Scegliamo un sistema di riferimento con x = 0 a metà del cilindro, e verso positivo diretto verso il basso.
L'energia interna dei due gas è (visto che si hanno 2 volumi di gas, uno sopra e uno sotto).
La variazione di energia potenziale gravitazionale è , dove è la posizione finale del pistone nel nostro sistema di riferimento (visto che il verso è positivo verso il basso, sarà positivo).
Visto che il pistone è a tenuta stagna e il sistema è termicamente isolato, i gas compiono trasformazioni adiabatiche, quindi (il pedice 1 indica il gas nella metà di sotto, il 2 quello di sopra) e , dove e , con area del cilindro e . L'energia finale dei due gas è data quindi da .
Visto che l'energia totale si conserva,
Scrivendo come , espandendo al secondo ordine con Taylor si ottiene , facendo la stessa cosa per diventa .
Quindi, dalla conservazione dell'energia si ottiene, semplificando, che , quindi .
Quello che mi fa pensare di aver sbagliato qualcosa è che
1) non ho mai avuto modo di usare l'assunzione che sia molto grande
2) speravo che alla fine, semplificando, sarei riuscito a ottenere in funzione di , mentre invece mi torna in funzione di , quindi non posso ottenere il volume finale... dove sto sbagliando???

Sbagli quando dici che i due gas compiono trasformazioni adiabatiche. Dicendo che il pistone è a tenuta stagna intendevo che i due compartimenti, come ho scritto, non si scambiano particelle, non che non si scambino calore. Dopodiché è vero, in ogni caso, che c'è una variabile di troppo, e a ciò servirà l'assunzione su .

Provo a scrivere qualcosa anch'io. Indico con i suffissi 1 e 2 le variabili riguardanti la metà superiore e quella inferiore nello stato di equilibrio raggiunto dal pistone dopo le sue oscillazioni. Se S è la sezione orizzontale del cilindro, questo stato dovrebbe essere rappresentato dall'uguaglianza ovvero dato che e quindi a maggior ragione si può ritenere che . Indicando con le altezze dei volumi, questi sarannoe il lavoro compiuto dal peso in caduta dalla prima alla seconda posizione di equilibrio sarà oppure . Ora il punto delicato. Io pensavo che l'equivalente calore prodotto in 2 si trasferisse attraverso il pistone ad 1 in modo che al nuovo equilibrio la temperatura rimanesse e l'energia interna del sistema gas rimanesse invariata per cui : ma così emerge una contraddizione clamorosa. Essendo per l'approssimazione fatta esplicitando l'ultima uguaglianza e ponendo ancora ricaverei e dunque . Evidentemente al secondo equilibrio la prima e la seconda metà devono essere isoterme ma non a !! Ho provato anche questa strada ma non riesco algebricamente a determinare D'altra parte non riuscirei a giustificare che tornasse indietro perchè se ha una fluttuazione verso l'alto diminuisce e W rimane per cui dovrebbe tendere ancora verso la posizione di equilibrio (stabile)

La staffetta e' ferma da un po', credo in attesa di Luca che deve dire se la passa a DeoGratias / Leo. Chiunque vuole se la puo' prendere