249. Una cimice sopra il mappamondo

Leo · Messaggio da **Leo** » 29 gen 2021, 12:47

Un mappamondo, costituito da una sfera di raggio $R$ e massa $M$ , ruota liberamente senza attrito attorno al suo asse $NS$ con velocità angolare iniziale $\omega_0$ avendo rispetto all'asse un momento di inerzia $I= (2/5)MR^2$ . Una cimice di massa $m$ partendo dal polo $N$ viaggia verso il polo $S$ lungo un meridiano con velocità costante $v$ per un tempo $T$ .
Mostrare che, durante il tempo $T$ , il mappamondo ruota di un angolo $\Delta \theta = \frac{\pi \omega_0 R}{v}.\sqrt{\frac{2M}{2M+5m}}$
Hint: un integrale utile è $\int_0 ^{2 \pi}{\frac{dx}{a+b cosx}} ={ \frac{2 \pi}{\sqrt{ a^2 - b^2}$ con $a^2>b^2$

Luca Milanese · Messaggio da **Luca Milanese** » 29 gen 2021, 22:03

Non sono sicuro di una cosa: $v$ è il modulo della velocità della cimice rispetto alla sfera o ho capito male?
Dopodichè, il valore dell'integrale mi sembra sbagliato: per $b=0$ dà $\frac{2\pi}{a^2}$ , mentre il risultato dovrebbe essere $\int_{0}^{2\pi} \frac{\text{d} x}{a}=\frac{2\pi}{a}$

Leo · Messaggio da **Leo** » 30 gen 2021, 12:02

Grazie Luca. Mi scuso con tutti per la mia imperizia latex. Ho effettuato la correzione/modifica nel testo

Messaggio da **DeoGratias** » 30 gen 2021, 13:06

Avrei risolto il problema, ma è la prima volta che ci provo e non ho la minima idea di come si usi Latex... posso caricare la soluzione lo stesso, magari scrivendola a mano su un foglio o sul pc?

Messaggio da **Pigkappa** » 30 gen 2021, 15:56

Certo

Comunque il latex non e' difficile, se provi impari veloce

Codice: Seleziona tutto

[tex]a+b = c[/tex]

$a+b = c$

Codice: Seleziona tutto

[tex]\frac{a}{b}[/tex]

$\frac{a}{b}$

Codice: Seleziona tutto

[tex]\int[/tex]

$\int$

Codice: Seleziona tutto

[tex]\int{ \frac{1}{x} dx } = \ln{x} + \text{constant}[/tex]

$\int{ \frac{1}{x} dx } = \ln{x} + \text{constant}$

Messaggio da **DeoGratias** » 30 gen 2021, 16:31

Grazie mille! Se riesco stasera provo a caricare i calcoli in latex, altrimenti se proprio vedo che è un'impresa.impossibile scrivo tutto a mano in bella e lo mando

Messaggio da **DeoGratias** » 31 gen 2021, 0:25

Allora, vediamo se riesco a combinare qualcosa:
Innanzitutto, il momento torcente delle forze esterne è nullo, quindi $\tau =0\Rightarrow \frac{\mathrm{d} L}{\mathrm{d} t} =0\Rightarrow L=cost.$ , ovvero il momento angolare si conserva.
All'istante t=0, il momento d'inerzia è dato da $I_{0}=\frac{2}{5}MR^{2}$ , quindi il momento angolare rispetto all'asse di rotazione della sfera è $L=\frac{2}{5}MR^{2}\omega _{0}$
La cimice si muove con una velocità angolare costante $\omega_{c}=\frac{v}{R}$ dal polo nord al polo sud della sfera, perciò lo spostamento angolare dal polo nord sulla superficie della sfera è dato da $\varphi =\omega _{c}t$ , e la sua distanza dall'asse verticale di rotazione della sfera è $r=Rsin(\varphi )=Rsin(\omega _{c}t)$ .
Di conseguenza, il momento d'inerzia totale all'istante $t$ è dato da $I_{(t)}=I_{sfera}+I_{cimice}=\frac{2}{5}MR^{2}+mR^{2}sin^{2}(\frac{v}{R}t)$
Per la conservazione del momento angolare, detta $\omega_{(t)}$ la velocità angolare della sfera all'istante $t$ , si ha che
$\frac{2}{5}MR^{2}\omega _{0}=\omega _{(t)}(\frac{2}{5}MR^{2}+mR^{2}sin^{2}(\frac{v}{R}t))$ , e quindi
$\omega _{(t)}=\frac{\frac{2}{5}M\omega _{0}}{(\frac{2}{5}M+msin^{2}(\frac{v}{R}t))}$
Lo spostamento angolare incognito è dato da $\Delta \theta =\int d\theta =\int_{0}^{T}\frac{\frac{2}{5}M\omega _{0}}{(\frac{2}{5}M+msin^{2}(\frac{v}{R}t))}dt$
Ricordandoci dell'hint e del fatto che $sin^{2}\alpha =\frac{1-cos(2\alpha )}{2}$ , imponendo la sostituzione $k=\frac{2v}{R}t\rightarrow dt=\frac{R}{2v}dk$ , si ottiene che $\Delta\theta =\frac{2}{5}MT\omega _{0}\frac{1}{\sqrt{\frac{4}{25}M^{2}+\frac{2}{5}Mm}}$
da cui, ricordando che la cimice si muove con velocità costante rispetto alla sfera, che lo spostamento è di 180 gradi e quindi $T=\frac{\pi R}{v}$ , inserendo questo nella formula precedente e sistemando un po' di roba si ottiene, se per miracolo ho azzeccato tutti i conti, $\Delta \theta = \frac{R\pi \omega_{0}}{v}\sqrt{\frac{2M}{2M+5m}}$ , cioè la tesi, QED

Leo · Messaggio da **Leo** » 31 gen 2021, 12:47

Osservo che quello che appare è giusto ma, soprattutto il passaggio dall'integrale fra 0 e T all'integrale fra 0 e $2\pi$ per poter utilizzare l'Hint, non è sufficientemente giustificato: dovresti essere più didascalico in questa parte decisiva come lo eri stato nella parte precedente sennò la soluzione corretta pare giustapposta. (vista anche la tua improvvisa e ottima padronanza del latex, come ti invidio...)

Messaggio da **DeoGratias** » 31 gen 2021, 15:48

Sì hai ragione, avevo supposto (sbagliando) che l'hint valesse per qualsiasi valore, non solo per 2pi

. Comunque, l'integrale in questione, dopo aver applicato la formula di bisezione del seno, diventa $\int_{0}^{T}\frac{\frac{2}{5}M\omega _{0}}{\frac{2}{5}M+\frac{1}{2}m-\frac{mcos(\frac{2v}{R}t)}{2}}dt$
Facendo la sostituzione che ho scritto prima, si ottiene $\int_{0}^{\frac{2vT}{R}}\frac{\frac{1}{5}M\omega _{0}\frac{R}{v}}{\frac{2}{5}M+\frac{1}{2}m-\frac{mcos(k)}{2}}dk$
Ma $\frac{2vT}{R}=2\omega _{c}T$ , e poiché $T=\frac{\pi }{\omega _{c}}$ perché è il tempo che ci mette la cimice a muoversi dal polo nord al sud della sfera, percorrendo quindi una semicirconferenza, si ha che $\frac{2vT}{R}=2\pi$ , quindi penso che si possa usare l'hint ottenendo che $\Delta \theta =\frac{1}{5}M\omega _{0}\frac{R}{v}*\frac{2\pi }{\sqrt{\frac{4}{25}M^{2}+\frac{2}{5}Mm}}$ , e risistemando un po' si dovrebbe ottenere la tesi
Scusate per la poca chiarezza e per gli errori, è la prima volta che provo a risolvere un problema così e a scrivere per bene una soluzione

P.s. il latex non è merito mio, ma di https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php
P.p.s. posso chiederti da dove hai preso il problema? Sono curioso

Leo · Messaggio da **Leo** » 1 feb 2021, 11:15

DeoGratias ha scritto: ↑
31 gen 2021, 15:48
$\Delta \theta =\frac{1}{5}M\omega _{0}\frac{R}{v}*\frac{2\pi }{\sqrt{\frac{4}{25}M^{2}+\frac{2}{5}Mm}}$ , e risistemando un po' si dovrebbe ottenere la tesi

Ma "risistemando un pò" è proprio quello che dovresti fare tu: è come la dimostrazione di un teorema questo problema preso da Cahn "A Guide to Physics Problems, Part 1". Sarebbe come se sul più bello chi lo dimostra dicesse "e poi si dovrebbe ottenere la tesi". Devi convenire che saresti anche tu insoddisfatto...D'altra parte non c'è da preoccuparsi siamo qui per imparare anche il rigore: la mia esperienza personale è breve eppure già molte volte credevo di essere stato esauriente e invece mi hanno bacchettato..

249. Una cimice sopra il mappamondo

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