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245. Velocità Limite
Inviato: 31 dic 2020, 13:36
da east_beast
Un corpo in acqua è soggetto ad una forza viscosa
.
Se il corpo è lasciato cadere da fermo, raggiungerà una velocità limite
e continuerà ad affondare con questa velocità.
Supponiamo che al corpo venga impressa una velocità iniziale orizzontale
. Qual è la velocità minima del corpo, nel suo moto?
Re: 245. Velocità Limite
Inviato: 31 dic 2020, 20:49
da lorenzo.arienti.gdg
Iniziamo col trovare le componenti x e y della velocità in funzione del tempo.
Componete y:
Risolvento si trova
=\frac{mg}{\gamma}(1-e^{\frac{-\gamma t}{m}}))
Componente x:
Risolvendo troviamo
=v_2e^{\frac{-\gamma t}{m}})
^2=v_x(t)^2+v_y(t)^2)
Svolgendo i calcoli e usando
si arriva a
^2=(v^2_1+v^2_2)e^{\frac{-2 \gamma t}{m}} -v^2_1e^{\frac{-\gamma t}{m}} + v^2_1)
Possiamo trovare il minimo di
^2)
impostando la sua derivata a
sapendo che coinciderà con il minimo della funzione
)
^2}{dt}=e^{\frac{- \gamma t}{m}}(-e^{\frac{- \gamma t}{m}}(\frac{2 \gamma v^2_2}{m}+\frac{2mg^2}{\gamma})+\frac{2mg^2}{\gamma})=0)
Trovo le due soluzioni
e
E' la seconda soluzione quella che ci interessa:
-ln(m^2g^2+ 2\gamma^2 v^2_2)=ln(m^2g^2)-(ln(m^2g^2)+ln(1+\frac{\gamma^2 v^2_2}{m^2g^2})))
)
Sostituiamo questo risultato nella funzione
per trovare la soluzione
^2=\frac{v^2_1v^2_2}{v^2_1+v^2_2})
e quindi
=\frac{v_1v_2}{\sqrt{v^2_1+v^2_2}})
Re: 245. Velocità Limite
Inviato: 31 dic 2020, 22:17
da east_beast
Tutto giusto, bravo.
Tuo il testimone
Re: 245. Velocità Limite
Inviato: 21 gen 2021, 18:01
da Gamow00
Questo problema ha anche un'altra elegantissima soluzione che mi sembra doveroso condividere. Il problema è tratto da " 200 more puzzling physics problems", numero 19.
L'equazione del moto del corpo è
Siccome la velocità limite è
, l'equazione del moto diventa
}{\text{d}t}= g\overrightarrow{v_1} - g\overrightarrow{v}(t))
Definendo
} = \overrightarrow{v(t)} - \overrightarrow{v_1})
, ottengo
}{\text{d}t} = -\frac{g}{v_1}\overrightarrow{u})
Ovvero la derivata di
è parallela al vettore, che quindi non cambia mai direzione. Questa direzione è quella iniziale, ovvero
=\overrightarrow{v_2} - \overrightarrow{v_1})
. La velocità del corpo è quindi
)
, dove
)
è una funzione scalare. Significa che la testa del vettore
si muove sulla linea
in figura.
Come si può ben immaginare,
è minimo quando coincide con
