Carro merci e blocchi

[Sam]

Salve a tutti! Mi sono da poco iscritto a questo forum in quanto ho intenzione di provare a partecipare alle olimpiadi della fisica. Studiando l'Halliday, che ho iniziato circa 2 settimane fa, ho incontrato questo problema al quale, nonostante ci abbia ragionato parecchio, non sono riuscito a trovare una soluzione:

"Un carro merci piatto è carico di casse con coefficiente di attrito rispetto al pianale. Se il treno viaggia alla velocità di , entro quale distanza minima può arrestarsi, ad accelerazione costante, senza causare lo slittamento delle casse?"

Perdonatemi se vi risulta un problema banale, ma non riesco proprio a trovare le relazioni tra le forze che agiscono nel sistema. Grazie in anticipo
~Sam

[Luca Milanese]

Ciao!
Per prima cosa, conviene identificare tutte le forze agenti su una cassa. Queste sono:
-il peso della cassa stessa;
-la reazione normale esercitata dal pianale del carro;
-la forza d'attirto esercitata dal panale.
Diciamo che la massa di una cassa vale : non è importante che non sia fra i dati, in quanto alla fine si semplificherà. Il peso della cassa è allora in modulo , e la reazione normale avrà lo stesso valore poichè la cassa non si muove in verticale, dunque .
Ora, l'unica forza orizzontale agente sulla cassa è proprio l'attrito , per cui, detta l'accelerazione con cui essa si muove, per la seconda legge di Newton deve essere . Inoltre, se le casse non scivolano rispetto al carro, significa che è la stessa accelerazione di quest'ultimo.
Per semplicità, chiamo la velocità iniziale del carro e dico che . Allora le sue leggi orarie sono:

Il carro si ferma quando e quindi, per la prima equazione, quando . Sostituendo nella seconda si ottiene lo spostamento del carro:

Quindi per trovare la distanza minima di arresto bisogna trovare il massimo valore possibile di . Per farlo, sfrutto il fatto che per definizione dsl coefficiente di attrito statico, da cui e infine .
Pertanto, .
Spero sia tutto chiaro .

[Sam]

Grazie mille Luca per la chiarissima spiegazione!

[Sam]

Ciao!
Per prima cosa, conviene identificare tutte le forze agenti su una cassa. Queste sono:
-il peso della cassa stessa;
-la reazione normale esercitata dal pianale del carro;
-la forza d'attirto esercitata dal panale.
Diciamo che la massa di una cassa vale : non è importante che non sia fra i dati, in quanto alla fine si semplificherà. Il peso della cassa è allora in modulo , e la reazione normale avrà lo stesso valore poichè la cassa non si muove in verticale, dunque .
Ora, l'unica forza orizzontale agente sulla cassa è proprio l'attrito , per cui, detta l'accelerazione con cui essa si muove, per la seconda legge di Newton deve essere . Inoltre, se le casse non scivolano rispetto al carro, significa che è la stessa accelerazione di quest'ultimo.
Per semplicità, chiamo la velocità iniziale del carro e dico che . Allora le sue leggi orarie sono:

Il carro si ferma quando e quindi, per la prima equazione, quando . Sostituendo nella seconda si ottiene lo spostamento del carro:

Quindi per trovare la distanza minima di arresto bisogna trovare il massimo valore possibile di . Per farlo, sfrutto il fatto che per definizione dsl coefficiente di attrito statico, da cui e infine .
Pertanto, .
Spero sia tutto chiaro .

Tuttavia avrei un ultimissima domanda: dato che il carro applica una forza sulla cassa, per il terzo principio della dinamica dovrebbe subirne una di intensità uguale, direzione uguale ma verso opposto come reazione da parte della cassa stessa. Dunque il carro non dovrebbe essere soggetto a due (o più a seconda del numero delle casse) forze di verso opposto (quella che lo decelera e la reazione della cassa sul carro)? Oppure il carro subisce tale reazione unicamente quando la sua accelerazione relativa rispetto alle casse non è più 0? (Perdona ancora la domanda, ma sono ancora un po' confuso sull'argomento)

[Luca Milanese]

Sì, l'attrito statico che agisce su ciascuna cassa agisce anche, con verso opposto, sul carro, tendendo dunque ad accelerarlo. Tuttavia ciò non è importante nel problema perchè che il carro si muova ad accelerazione costante, e dunque che la forza sviluppata dal suo motore sia in ogni momento in modulo superiore alla somma di questi attriti, è un dato del problema: insomma, il sistema fisico che conviene studiare è la singola cassa, e non il carro più le casse.

[Sam]

Sì, l'attrito statico che agisce su ciascuna cassa agisce anche, con verso opposto, sul carro, tendendo dunque ad accelerarlo. Tuttavia ciò non è importante nel problema perchè che il carro si muova ad accelerazione costante, e dunque che la forza sviluppata dal suo motore sia in ogni momento in modulo superiore alla somma di questi attriti, è un dato del problema: insomma, il sistema fisico che conviene studiare è la singola cassa, e non il carro più le casse.

Perfetto, allora adesso ho chiarito tutto, grazie mille ancora