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Una botte piena d'acqua (densità $\rho$ ) a livello $h_0$ costante è collegata nella sua parte inferiore a un tubo orizzontale di diametro $d$ e lunghezza $l$ .
Una valvola si trova all'estremità del tubo più lontana dalla botte.
Al momento $t = 0$ , la valvola passa da completamente bloccata a completamente aperta.
Per semplicità, ignorare la viscosità e ipotizzare che in ogni sezione del tubo la velocità è uniforme (indipendentemente dalla distanza dal centro del tubo).

Trovare $u(t)$ e la pressione $p(x,t)$ all'interno del tubo nel caso generale.

Considero la porzione di acqua compresa tra le ascisse $0$ e $x$ , con $0$ preso nel punto in cui il tubo è attaccato alla botte. La forza netta agente su questa parte di fluido è $F=\frac{(p(0)-p(x))d^2 \pi}{4}$ , mentre la sua q.d.m. è $P=\frac{\rho d^2 \pi x u}{4}$ , dato che, essendo il fluido incomprimibile, $\rho$ è costante e uniforme e dunque $u$ non dipende da $x$ . Quindi dalla seconda legge di Newton:
$F=\frac{dP}{dt} \Rightarrow p(0)-p(x)=\rho x \dot u$
All'estremità aperta del tubo la pressione è quella atmosferica, quindi $p(l)=p_0$ , da cui:
$p(0)-p_0=\rho l \dot u$ .
Assumo che la botte abbia sezione $A>>\frac{d^2 \pi}{4}$ : posso dunque ritenere che al suo interno la velocità sia pressocche stazionaria, e che sia nulla sulla sua superficie superiore. Applico dunque il teorema di Bernoulli su una linea di flusso che va da $h=h_0$ all'inizio del tubo:
$p_0+\rho h_0 g =p(0)+\frac{\rho u^2}{2} \Rightarrow p(0)-p_0=\rho \bigg (h_0 g -\frac{u^2}{2}\bigg )$
Eliminando la differenza di pressione tra le due equazioni ottengo:
$l \dot u = h_0 g - \frac{u^2}{2} \Rightarrow \frac{du}{dt} = \frac{2h_0 g - u^2}{2 l} \Rightarrow \frac{du}{2h_0 g - u^2}=\frac{dt}{2l}$
Integrando tra $0$ e $u(t)$ e fra $0$ e $t$ si ottiene:
$u(t)=\sqrt{2h_0 g} \tanh \bigg(\sqrt{\frac{h_0 g}{2}} \frac{t}{l} \bigg)$
Quindi $\dot u(t) = \frac{h_0 g}{l}\bigg (1-\tanh^2\bigg(\sqrt{\frac{h_0 g}{2}}\frac{t}{l}\bigg ) \bigg)$ , $p(0)=p_0+\rho l \dot u =p_0+\rho h_0 g \bigg (1-\tanh^2\bigg(\sqrt{\frac{h_0 g}{2}}\frac{t}{l} \bigg) \bigg)$ e, infine:
$p(x, t) =p(0)-\rho x \dot u =p_0+\rho h_0 g \bigg(1-\frac{x}{l}\bigg) \bigg(1-\tanh^2 \bigg(\sqrt{\frac{h_0 g}{2}}\frac{t}{l}\bigg) \bigg)$

Tutto perfetto!

Per $t$ che tende a $\infty$ tra l'altro si ha il risultato canonico $v = \sqrt{2gh_0}$ .
A te la staffetta!

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232. Fluido incomprimibile in un tubo

232. Fluido incomprimibile in un tubo

Re: 232. Fluido incomprimibile in un tubo

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