Forum OLIFIS

All’interno di una sfera di raggio e conducibilità termica viene prodotto calore in modo omogeneo. Il calore prodotto per unità di volume e unità di tempo vale .
La sfera è immersa in uno spazio vuoto allo zero assoluto nel quale irraggia come un corpo nero. Calcolare la temperatura all’interno del corpo all’equilibrio.

Si vuole determinare una funzione che misuri la temperatura all'interno della sfera a distanza dal centro. L'equazione del calore di Fourier per una sfera si scrive come:

All'equilibrio il flusso di calore condotto deve essere uguale al flusso di calore generato omogeneamente nel volume:

Basta integrare:

Il problema sinceramente non mi sembra più complesso di così...

Il tuo risultato non è corretto, guarda bene cosa succede a .

Accade che la Temperatura sulla superficie coincide con la temperatura esterna, forse non ho considerato per bene l’irraggiamento e ci si aspetta che la sfera abbia una temperatura esterna non nulla (e che si tratti quindi di una stella)?

Sì l'irraggiamento va considerato.

Non ci ho pensato a fondo ma quell'equazione del calore senza derivate seconde mi sembra sospetta.

L'integrale di Euler è leggermente sbagliato, infatti dovrebbe venire
Dove T(R) è la temperatura superficiale. Siccome il calore prodotto al centro all'equilibrio viene interamente irraggiato, , ricavando T(R) ottengo

@east beast
Corretto! A te il testimone, vai pure col 230!
@Pigkappa
Non è sospetta, Leonhard ed east beast hanno evitato le derivate seconde ragionando direttamente sul calore prodotto entro un certo raggio , come se avessero saltato uno step di integrazione.

Ah ok, quella che di solito si chiama equazione del calore è in un'altra forma ma va bene così. Nel caso di calore generato in modo uniforme comunque questo metodo funziona bene