Forum OLIFIS

Questo e' un altro problema avanzato dalla riserva di quelli per il preIPhO. Non peer-reviewed per cui potrebbero esserci inesattezze nella mia soluzione, ma speriamo di no.
Link al testo su Overleaf: https://www.overleaf.com/read/sggtgxtgcyqh .
Clickando in alto a destra una delle opzioni vicino a "Recompile" vi permette di scaricarlo come PDF. Postate anche soluzioni parziali, se non ci sono progressi entro ~3 giorni lascio libera la staffetta perche' non voglio paralizzarla prima degli orali SNS.

Non mi è chiaro un punto del testo. Nella seconda assunzione della parte C, la velocità della struttura che si deve considerare è quella del centro di massa della circonferenza o quella del punto di contatto (quindi tenendo conto pure della velocità angolare)?

Quella rispetto al punto di contatto.

Parte A

1. La reazione normale fra circonferenza e particella agisce lungo , pertanto entrambi gli oggetti avranno velocità solo verticali dopo l'urto e la circonferenza non acquisirà velocità angolare. Detta la velocità di dopo l'urto, si ha allora e . Dalla conservazione di qdm ed energia:


Risolvendo, e , quindj

2. Mi metto in un sistema di riferimento in cui la circonferenza è ferma. Allora . L'urto avviene quando la particella tocca l'estremo inferiore della circonferenza, dopo che in questo sistema di riferimento ha percorso una distanza , e quindi avviene al tempo . Tornando nel sistema del laboratorio, si ha che , con la posizione del primo urto. Risolvendo, e .

3. Per gli stessi motivi del punto 1. è . Usando di nuovo le leggi di conservazione, e ricordando che per motivi fisici sarà (la particella non scavalca la circonferenza), si ricava e , cioè i valori iniziali.

4. Inserendo i valori numerici ottengo , , . Osservo ora che, a , la particella urterà di nuovo la circonferenza nel suo estremo superiore, nel punto . In effetti, il moto si ripete periodicamente ogni ma traslato di vettore , perchè e . Pertanto .

Parte B

5. Di nuovo, la forza normale agisce lungo e perciò , . Le leggi di conservazione della qdm e dell'energia assumono perciò le forme:


Sapendo che , si ricava ,

6. Ora mi sposto nuovamente in un sistema solidale con e noto che , quindi il secondo urto si ha dell'estremo destro della circonferenza a un tempo dato da . Procedendo come prima, trovo allora che

Domani posto la Parte C .

Parte C

Dato che nel testo sono richiesti solo i valori numerici delle risposte, mi limito a sintetizzare come ho proceduto: ho usato di nuovo la conservazione della qdm, con l'aggiunta di quella del momento angolare per la velocità angolare della circonferenza. Per l'energia e la velocità relativa ho scritto e . Quando un'equazione quadratica dava due possibili risultati, ho preso quello cui corrispondeva la non uscita della particella dalla circonferenza, e al secondo urto ho imposto che la velocità della particella dopo l'urto fosse uguale a quella del punto di contatto, una volta verificato che l'urto riguardava la parte della struttura cosparsa di colla.

7. ,

8. ,

9. ,

10. , in senso orario.

Ho dovuto scrivere 3 pagine di conti e contazzi per cui quasi certamente ho sbagliato qualcosa , ma intanto queste sono le mie risposte.

Mi vengono diversi il 4, 7, 8, 9 e 10. Indubbiamente ci sono tanti conti negli ultimi, magari guarda se le equazioni che abbiamo impostato sono diverse... Mia soluzione a https://www.overleaf.com/read/bpmkvytchmpd
Buon lavoro comunque, a te la staffetta

Dunque...
4. Mi sembra che tu non abbia considerato che, a , la particella sta in , quindi ti viene un'ordinata della posizione finale minore di una quantità .
7. 8. 9. 10. Abbiamo usato le stesse equazioni, solo che, in quella che è la tua (25), io ho scritto invece che avendo dimenticato che la componente iniziale della velocità della particella è e non . Il bello è che nelle altre equazioni ho usato il valore corretto! Quindi errore mio, e da qui mi sono derivati errori numerici a catena.
Al 9. hai scritto che le velocità di pallina e circonferenza sono uguali, riferendoti per quest'ultima alla velocità del suo cdm. Io invece ho posto la velocità della pallina dopo l'urto uguale a quella del punto di contatto, cioè , dato che altrimenti la pallina scivola lungo la circonferenza pur non muovendosi rispetto al cdm della struttura. È giusto così?

P. S. Li fate sempre così contosi i problemi del Pre-IPhO?

Hai ragione sul 4 e sul 9.

C'è parecchia variabilità in quel che viene proposto, io sono dell'idea che di dare problemi con conti simili a quelli IPhO dato che stiamo selezionando per le IPhO. Di solito però sono meno pesanti. Questo non era particolarmente interessante e di meccanica ne abbiamo sempre parecchi tra cui scegliere per cui non penso sarebbe mai stato preso.