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Un corpo di massa $m$ si muove in un potenziale della forma $V(r)=\alpha r^k$ in orbita circolare. Calcolare il rapporto tra il periodo di oscillazione in senso radiale, attorno alla distanza di equilibrio, e il periodo di rivoluzione.

Non lo volevo postare ma nessuno si è fatto vivo..Allora V(r)= $\alpha.r^k$ , $U(r)=mV (r), F(r)=- m\alpha.k.r^{k-1}$ . Per trovare $T_{riv}$ ho considerato la forza centripeta $m\omega^2 R= F(R)$ dove R è il raggio dell'orbita circolare. Avrei ottenuto $T_{riv}=2\pi\frac{1}{\sqrt{\alpha.k.R^{k-2}}}$ . Per trovare il periodo dell'oscillazione $T_r$ avrei considerato una piccola fluttuazione x<<R nella direzione di r attorno ad R. Avrei pensato di porre con un piccolo sviluppo arrestato al primo termine $F(R+x)=F(R)+(d[F(r)]/dr)_{r=R}).x$ per cui l'equazione del moto sarebbe quella di un moto armonico con un termine costante F(R) e $\omega^2=\alpha.k.(k-1)R^{k-2}$ . A parte i miei frequenti errori di calcolo otterrei
$\frac{T_r}{T_{riv}}= \frac{1}{\sqrt{k-1}}$ .
Nel caso che fosse sbagliato resta così. Nel caso fosse giusto ti prego di continuare tu la staffetta. Vado al mare ma farò gli esercizi di autovalutazione!

L'espressione trovata per $T_{riv}$ è ovviamente corretta, però il risultato finale non mi torna. L'idea di approssimare con Taylor al primo ordine va benissimo, probabilmente hai sbagliato qualcosa nel fare i conti. Per chi volesse ancora provarci, consiglio di fare le approssimazioni dopo aver scritto $F=ma$ in direzione radiale e aver eliminato la velocità angolare introducendo il momento angolare $L$ (che alla fine si semplificherà). Per il momento non posto il 221.

Dal momento che nessun altro si è fatto avanti, posto la soluzione del problema.
La seconda legge di Newton in direzione radiale è:
$m(\ddot r -\dot \theta^2 r)=F=-m\alpha k r^{k-1} \Rightarrow \ddot r=\dot \theta^2 r -\alpha k r^{k-1}$
Il momento angolare del corpo rispetto all'origine vale $L=mr^2 \dot \theta$ ed è costante nel tempo. Sostituendo nell'equazione precedente si ottiene:
$\ddot r=\frac{L^2}{m^2 r^3}-\alpha k r^{k-1}$ .
Ora scriviamo, come faceva bosone, $r=R+x \Rightarrow \ddot r =\ddot x$ e sostituiamo:
$\ddot x=\frac{L^2}{m^2}(R+x)^{-3}-\alpha k (R+x)^{k-1}$
Approssimando con Taylor al prim'ordine in $\frac{x}{R}$ :
$\ddot x=\frac{L^2}{m^2 R^3}\bigg(1-3\frac{x}{R}\bigg)-\alpha kR^{k-1} \bigg[1+(k-1)\frac{x}{R}\bigg]$ .
Imponendo che $R$ sia un punto di equilibrio si ottiene $\frac{L^2}{m^2 R^3}=\alpha k R^{k-1}$ , perció l'equazione precedente si semplifica in:
$\ddot x =-\frac{3L^2 x}{m^2 R^4}-\alpha k (k-1)R^{k-2}x$ .
A questo punto risostituiamo $L=mR^2\omega_{Riv}$ , dove $\omega_{Riv}$ è la velocità angolare orbitale del corpo e vale $\sqrt{\alpha k R^{k-2}}$ :
$\ddot x=-3\alpha k R^{k-2} x -\alpha k (k-1) R^{k-2} x=-\alpha k(k+2) R^{k-2} x$
Quindi la pulsazione delle piccole oscillazioni radiali vale $\omega=\sqrt{\alpha k (k+2) R^{k-2}}$ , il periodo di oscillazione vale $\frac{2\pi}{\sqrt{\alpha k (k+2) R^{k-2}}}$ e il rapporto richiesto è $\frac{1}{\sqrt{k+2}}$ .

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220. Oscillazioni in orbita.

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