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Supponiamo di avere una sfera uniforme di massa $m$ appoggiata su un giradischi che ruota con velocità angolare $\Omega$ . La sfera rotola senza strisciare sul giradischi, descrivendo una circonferenza nel riferimento del laboratorio. Trovare la velocità angolare con cui percorre questa circonferenza.

Prendo l'origine del SdR nel centro del giradischi.
Chiamo $\vec R$ il vettore che congiunge il centro della sfera con il punto di contatto P col giradischi, e $\vec r$ il vettore posizione di P nel nostro SdR, abbiamo che $\vec r_{cm} = \vec r - \vec R$ da cui

$\vec v_{cm} = \vec v = \dot { \vec{r}}$
$\vec a_{cm} = \vec a = \ddot { \vec{r}}$
e scrivo le due equazioni cardinali e la condizione di non strisciamento.

$(1) \vec{F} = m\vec{a} = m \ddot { \vec{r}}$
$(2)\vec {dL}/dt = \frac{d}{dt} I \vec{\omega} = \vec{\tau} = \vec{R} \times \vec{F} \Rightarrow \dot {\vec \omega} =\vec{R} \times \vec{F}/I$
$(3)\vec \omega \times \vec R + \vec v - \vec \Omega \times \vec r = 0$
derivando rispetto al tempo la (3) e sostituendo la (2) nella (3) derivata ottengo
$(\vec R \times \vec F) \times \vec R/I + \vec a = \vec \Omega \times \dot{\vec r}$ sviluppando il triplo prodotto vettore e sapendo che $I = 2/5 mR^2$
$7/2 \vec F = m\vec \Omega \times \vec v$ e finalmente dividendo per $7m/2$
$\vec a = 2/7 \vec \Omega \times \vec v$ , sapendo che in un moto circolare $\frac {d}{dt} \vec v = \vec \omega \times \vec v$ il CM della sfera descrive una circonferenza con velocità angolare $\vec \omega' = 2/7 \vec \Omega$

Sono stato compatto per non morire di \vec , \times e \omega (anche se ci ho messo un sacco comunque

)

Tutto perfetto. Avanti col 218!

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217. Sfera su giradischi.

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Re: 217. Sfera su giradischi.

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