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215. Gas dentro ad un cilindro in rotazione
Inviato: 9 giu 2020, 16:37
da east_beast
Un cilindro di raggio con l'asse orizzontale, ha una base aperta, da cui può entrare o uscire aria dall'esterno, e l'altra sigillata; ed è messo in rotazione con velocità angolare verticale
passante per la base aperta. La pressione dell'aria esterna è
, la temperatura
e la massa molare
, indipendente da
.
Trovare la pressione interna in funzione della distanza
dall'asse di rotazione,
)
.
Re: 215. Gas dentro ad un cilindro in rotazione
Inviato: 9 giu 2020, 17:26
da Pigkappa
Cilindro di raggio..?
passa per il centro della base aperta o traccia una corda qualsiasi sulla base aperta?
Re: 215. Gas dentro ad un cilindro in rotazione
Inviato: 9 giu 2020, 17:38
da east_beast
Il raggio del cilindro non fa parte della traccia del problema, perché il risultato è indipendente da esso. (poteva anche essere un parallelepipedo, secondo la traccia)
Mentre per quanto riguarda
, passa per il centro del cilindro ed è perpendicolare al suo asse, per cui traccia un diametro.
Re: 215. Gas dentro ad un cilindro in rotazione
Inviato: 10 giu 2020, 8:44
da Luca Milanese
Non ho capito se
passa per il centro del cilindro (e quindi l'asse di rotazione è alla stessa distanza dalle due basi) o per il centro della base aperta del cilindro.
Re: 215. Gas dentro ad un cilindro in rotazione
Inviato: 10 giu 2020, 10:43
da bosone
Se capisco il testo vorrei chiederti cosa pensi di questa ipotesi di soluzione. Nella prima metà del cilindro, a causa della riflessione della base per ogni particella che acquista velocità centrifuga verso la base ce n'è una riflessa con velocità opposta, non c'è flusso centrifugo e la pressione è
. Nell'altra metà consideriamo (essendo lo 0 nella posizione centrale dove è il
) il volumetto verticale infinitesimo compreso fra r e r+dr che, se A è la sezione, risulta dV= A.dr. La massa dm di aria in esso contenuta, considerando l'aria gas perfetto come sembra indicare il testo ed essendo quindi
, risulta
. La forza centrifuga che appare su dm è allora
= dm\omega^2.r=\frac {p_0MA\omega^2 r dr}{RT})
che dividendo per A e integrando fra 0 ed r (poichè ci si sommano quelle degli analoghi volumetti compresi fra 0 ed r)fornisce una pressione
=\frac{p_0M\omega^2 r^2}{2RT})
. Ripeto di non essere sicuro di avere inteso correttamente il testo...
Re: 215. Gas dentro ad un cilindro in rotazione
Inviato: 10 giu 2020, 11:11
da east_beast
Luca Milanese ha scritto: ↑10 giu 2020, 8:44
Non ho capito se
passa per il centro del cilindro (e quindi l'asse di rotazione è alla stessa distanza dalle due basi) o per il centro della base aperta del cilindro.
Passa per il centro della base aperta, è ortogonale all'asse del Cilindro
bosone ha scritto: ↑10 giu 2020, 10:43
Se capisco il testo vorrei chiederti cosa pensi di questa ipotesi di soluzione. Nella prima metà del cilindro, a causa della riflessione della base per ogni particella che acquista velocità centrifuga verso la base ce n'è una riflessa con velocità opposta, non c'è flusso centrifugo e la pressione è
. Nell'altra metà consideriamo (essendo lo 0 nella posizione centrale dove è il
) il volumetto verticale infinitesimo compreso fra r e r+dr che, se A è la sezione, risulta dV= A.dr. La massa dm di aria in esso contenuta, considerando l'aria gas perfetto come sembra indicare il testo ed essendo quindi
, risulta
. La forza centrifuga che appare su dm è allora
che dividendo per A e integrando fra 0 ed r (poichè ci si sommano quelle degli analoghi volumetti compresi fra 0 ed r)fornisce una pressione
. Ripeto di non essere sicuro di avere inteso correttamente il testo...
Mi sembra che tu abbia capito il testo, ma hai sbagliato a differenziare
Re: 215. Gas dentro ad un cilindro in rotazione
Inviato: 10 giu 2020, 17:14
da bosone
Nel senso che è sbagliata la strada o è sbagliato il differenziale dal punto di vista matematico (occorrevano anche
? Mi sembrava che
ci fosse comunque e prescindesse da r (è giusta la mia conclusione sulla prima metà del cilindro?)
Re: 215. Gas dentro ad un cilindro in rotazione
Inviato: 10 giu 2020, 18:38
da east_beast
Intendo dal punto di vista matematico, l'equazione dei gas perfetti vale a livello locale, dunque
, tuttavia la soluzione ufficiale la scrive come
, credo sia perché non c'è variazione di volume...
Re: 215. Gas dentro ad un cilindro in rotazione
Inviato: 11 giu 2020, 10:38
da bosone
Mah io infatti non volevo fare il differenziale ma semplicemente applicare l'equazione di stato dei gas perfetti al caso che m=dm e V=Adr. La pressione è indicata nel testo con
come se fosse una costante. Ecco perchè non la facevo variare.
A proposito chiedo ancora di sapere se la permanenza di nella prima metà del cilindro è corretta come avevo affermato:Comunque sviluppando la soluzione ufficiale trovo il seguente risultato
= p_0(1+\frac{M\omega^2r^2}{2RT}))
di cui se fosse giusto posterei il procedimento. Si nota che per r=0
e che per la parte dipendente da r coincide con il risultato che avevo già dato
Re: 215. Gas dentro ad un cilindro in rotazione
Inviato: 11 giu 2020, 11:33
da east_beast
No, la pressione nella prima metà non è
e quello che hai fatto tu in realtà sarebbe proprio il differenziale dell'equazione di stato, oppure l'equazione di stato in forma locale, che è la stessa cosa.
E ancora no, il risultato dunque è sbagliato.
Non ha senso scrivere
perché stai assumendo che
Sia costante in ogni volumetto
, e poi vuoi usare il fatto che
sia costante per trovare
; capisci anche tu che è assurdo.