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Due perline, entrambe di massa m, sono libere di scivolare su un anello rigido circolare posizionato verticalmente, la cui massa è .
Le perline sono infilate nell'anello, in modo tale che non possono cadere. Vengono rilasciate nello stesso momento dalla cima dell'anello con una velocità iniziale trascurabile, e scivolano fino in fondo in direzioni opposte. Per tutto il tempo l'anello resta in posizione verticale. Qual è il valore massimo del rapporto tale che l'anello resti sempre attaccato al terreno? Si trascuri ogni tipo di attrito.

Buon lavoro, e buon divertimento a tutti.

Chiamo la reazione normale fra perlina e anello, e la reazione nornale fra anello e terreno. Per motivi di simmetria, le due perline, cadendo, si troveranno entrambe sempre alla stessa altezza e formeranno sempre lo stesso angolo rispetto alla loro posizione iniziale, che chiamo . Dal momento che non ci sono attriti, vale la conservazione dell'energia per ciascuna delle due palline:


Dove è il raggio dell'anello e è la velocità angolare di una perlina.
Eguagliando la risultante delle forze agenti radialmente su una perlina alla forza centripeta si ottiene:
. Ricavando da questa equazione e inserendo nella precedente ottengo :
.
Ora considero le forze agenti sull'anello. Se esso non si solleva da terra, la loro risultante è nulla:
. Sostituendo il valore di ricavato prima:
.
La reazione normale è sempre non negativa, quindi la condizione cercata si ottiene imponendo che la disequazione sia valida per ogni angolo :
.
Questa è una disequazione di secondo grado in , sempre soddisfatta se :
.
Quindi il valore massimo cercato è .

Perfetto. Puoi procedere col prossimo problema.