207. La palla rimbalza su due piani

[bosone]

Famoso problemino. Abbiamo a che fare con due piani inclinati S a sinistra e D a destra. Sono affacciati fra loro e formano un angolo retto. Il piano D forma un angolo con il piano orizzontale. A un dato istante una palla viene lasciata cadere da un punto che dista s dal piano S e d dal piano D.
Mediamente, quanti rimbalzi fa la palla sul piano S per ogni rimbalzo che fa sul piano D?
( Si suppone che tutti i rimbalzi derivino da urti perfettamente elastici)

[Phyyse]

Salve, mi sono appena iscritto. Sicuramente il mio ragionamento è sbagliato, dato che sono un principiante, ma ho pensato valesse la pena tentare. Male che vada imparo qualcosa di nuovo.

Allora, io ho pensato così: dato che non ci sono forze non conservative, il sistema palla-Terra manterrà sempre la stessa energia meccanica totale, e dato che gli urti sono tutti perfettamente elastici l'energia potenziale viene sempre convertita in cinetica e viceversa. Ho notato che visto che i due angoli sono complementari, e il seno e il coseno di due angoli complementari sono uguali, se la palla rimbalzasse contro l'altro piano alla stessa altezza, non farebbe altro che invertire le componenti x e y della sua velocità. Questo mi è sembrato interessante, ma il problema è che la palla non rimane alla stessa altezza tranne che nel caso speciale α= 45°, dove tra l'altro sinα=cosα. Quindi mi sono immaginato dei casi estremi in cui un piano ha un'inclinazione altissima e l'altro bassissima. Ma dato che l'esercizio non impone nessuna restrizione su α, né sulle distanze s e d, allora ho pensato che si potrebbe replicare specularmente qualunque scenario possibile. Quindi per simmetria sommando tutti i rimbalzi possibili la palla fa lo stesso numero di rimbalzi sul piano S e sul piano D. A questo punto sono tornato al caso speciale in cui α=45° ed s e d sono relativamente piccoli. In questa situazione infatti il modulo della velocità rimane sempre lo stesso ad ogni urto, dato che i due angoli sono uguali e dunque gli urti avvengono perpendicolarmente ogni volta, evitando così di modificare i due componenti y e x della velocità. Dato che la velocità resta la stessa e come detto all'inizio l'energia resta la stessa, la palla continuerà a rimbalzare da un piano all'altro all'infinito. Perciò la risposta dovrebbe essere 1.

Ora, io sono certo che sia sbagliato (non è possibile la risposta sia così intuitiva), però se foste così gentili da indicarmi quali errori ho fatto (e probabilmente ce ne sono parecchi) lo apprezzerei molto.

[bosone]

La risposta non è corretta come anche tu stesso hai intuito. Tuttavia i ragionamenti che fai sono interessanti soprattutto per un principiante. Non so se li avrei sviluppati io sei mesi fa...Hai fatto ipotesi che ti dovrebbero però mettere sulla strada come quella di una gran differenza fra s e d. Non puoi concludere che per ogni rimbalzo nell'un piano ce n'è uno nell'altro. se fai una figura, anche con , te ne rendi conto. Pensa però ad un approccio completamente diverso al moto della palla. Per ora non ritengo opportuno dare esplicitamente questo hint per non togliere il divertimento a coloro che principianti non sono. Se si sta una settimana su un problema si impara tantissimo. Se uno l'ha rifatto o ne ha fatto uno simile impara pochissimo.. E' ovvio ma è così. Un autore che apprezzo ha scritto resistere, resistere, resistere...

[Phyyse]

Grazie mille. Quello che hai detto è molto incoraggiante.

Mi è venuta in mente un'altra idea, anche se forse è ancora più assurda della precedente. Come mi hai consigliato, ho preso in esame i casi in cui s e d sono uno molto piccolo ed uno molto grande. Per avere un caso più semplice, ho messo s=0. A quel punto d diventa la distanza tra il punto in cui appoggio la palla e il piano D, quindi sarà la distanza percorsa dalla palla. L'altezza diventa uguale a dcosα. Per la conservazione dell'energia, equivalendo energia cinetica e potenziale, ottengo che la velocità finale della palla sarà uguale a . Usando la cinematica adesso posso trovare il tempo t che impiega la palla per arrivare in fondo. A questo punto ho notato che se la palla conserva la sua energia, dovrebbe in teoria tornare sempre alla stessa altezza, cadere di nuovo e fare su e giù all'infinito. Quindi così si crea un'oscillazione, ed il suo periodo sarà il doppio del tempo t. La frequenza di tale moto dovrebbe indicare quanti urti col piano D avvengono per ogni secondo. Se ripeto lo stesso procedimento appoggiando la palla sul piano D alla stessa altezza, posso trovare quanti rimbalzi farà su S ogni secondo. Facendo il rapporto io ho ottenuto un bellissimo cot(α). Ipotizzo che anche se d o s fossero entrambi diversi da 0, dopo una serie di rimbalzi iniziali la palla dovrebbe cominciare a urtare contro solo uno dei due piani all'infinito, quindi credo i rimbalzi iniziali siano trascurabili.
Anche in questo caso credo si sbagliarmi, però volgio tentare, e cot(α) mi sembra quasi una risposta seria.

[bosone]

Al solito stai facendo considerazioni interessanti ma la risposta non è corretta. La tua tendenza, anche nell'altro post, è quella di eliminare la differenza di influenza dei piani cioè l'esistenza di s e d. Ma se non esistessero s e d la domanda del problema sarebbe una specie di trucco ovvero ti chiedo una specificità determinata da s e d (il numero di rimbalzi su uno per ogni rimbalzo sull'altro) ma questa specificità non esiste! No, invece esiste. La soluzione dipende anche da s e d....

[Phyyse]

Rieccomi. Se non è un problema vorrei provare di nuovo.

Dunque, questa volta ho ragionato così: posso trovare l'altezza da cui lascio cadere la palla in funzione di s o d, a seconda del piano in cui lascio cadere la palla. Dato che l'esercizio chiede di trovare i rimbalzi su S rispetto a quelli su D, la lascio cadere su S e vedo quello che succede in base a s, d e . Quindi posso ottenere la velocità della palla appena colpisce il piano S per la prima volta usando la conservazione dell'energia. A questo punto, mi immagino che la palla stia facendo un moto parabolico per ogni balzo. Dato che siamo su un piano inclinato, in questo caso sia la componente x sia la y saranno accelerati. Il tempo che la velocità y impiega per diventare da 0 a massima o viceversa corrisponde al tempo che intercorre da un rimbalzo all'altro. Ora, possiamo indicare la distanza tra il punto in cui la palla tocca per la prima volta il piano con d - s (o con s - d se lasciamo cadere la palla sul piano D, e questa sarà la distanza totale percorsa in "orizzontale" (rispetto a come stiamo guardando il moto parabolico) e quindi possiamo trovare il tempo che impiegherà la palla per raggiungere l'altro piano. Facendo un rapporto tra i due tempi, otteniamo così quanti rimbalzi fa la palla su uno qualunque dei due piani a seconda di o s e d. Quando la palla tocca l'altro piano, a quel punto la velocità "y" è 0, perché percorrendo 90° nel moto parabolico la palla si ferma, quindi possiamo trovare l'altezza a cui arriva sull'altro piano. A questo punto però le due componenti si sono invertite (per quel discorso che facevo sul primo post riguardo agli angoli complementari), e inoltre la velocità "x" non sta più accelerando, ma decelerando. Credo che a questo punto si potrebbe ripetere il procedimento dei due tempi per trovare eventuali rimbalzi sul piano D mentre la palla torna indietro, ma mi sembra difficile che l'esercizio richieda di fare così tanti calcoli. Credo piuttosto che una volta raggiunto l'altro piano, la palla cominci a rimbalzare da un piano all'altro, magari riducendo continuamente le distanze e i tempi, ma senza di fatto fermarsi mai, perché gli urti sono tutti elastici e quindi andrà avanti all'infinito. Perciò la differenza di rimbalzi tra i due piani dovrebbe essere quella che ho trovato prendendo in considerazione solo il tempo della prima discesa. Tutto questo per dire che la mia risposta è .
Anche stavolta avrò scritto parecchie cavolate, ma devo dire che mi sto divertendo

[bosone]

Qualcosa di quello che dici è giusto. Più delle altre volte, però rimangono contraddizioni e la risposta è palesemente errata: potrebbe essere negativa, dipende da s e d ma non da nè da g perchè il seno a numeratore e denominatore e lo stesso g si possono semplificare. Sviluppa il discorso della traiettoria parabolica ricordando quello che si fa in terza scientifico (non so se frequenti o hai frequentato questa classe). E buon divertimento, come dici. Perchè questo è il sintomo principale del contagio che abbiamo subito tutti noi!

[bosone]

Dopo una settimana ribadisco l'hint già dato a Phyyse. Si studia il moto della palla come in terza scientifico si analizza la traiettoria parabolica del rinvio di un portiere o di un proiettile.

[Phyyse]

Ho provato a rifarlo, ma mi è venuto un altro risultato che può essere negativo e che non dipende da g, quindi non sto neanche a scriverlo.
Ho una domanda: con "distanze" s e d si intendono le distanze perpendicolari ai due piani dal punto in cui lascio la palla, giusto? Chiedo perché mi è venuto il dubbio che invece non siano le rette parallele al terreno che separano la posizione iniziale della palla dalle superfici dei due piani.

[Pigkappa]

Spero non dispiaccia a bosone se ti do' degli hints. Puntano in direzione diversa dalla sua, sospetto che la mia soluzione sia piu' facile.

1.) Metti degli assi cartesiani x e y, lungo D ed S rispettivamente. In questo sistema la gravita' ha componenti e che puoi calcolare.
2.) Accorgiti che le equazioni del moto per x(t) e y(t) sono completamente disaccoppiate: le forze lungo x dipendono solo dalla posizione in x e quelle lungo y solo da quella in y.
3.) Scrivi quanto tempo passa tra un urto con S ed il successivo, e tra un urto con D e il successivo.
4.) Adesso hai tutto quel che ti serve .

mi è venuto un altro risultato che può essere negativo e che non dipende da g

Se ci pensi, il risultato non puo' dipendere da .
I parametri sono . Il risultato deve essere adimensionale.
e' adimensionale per cui non genera problemi.
e hanno dimensioni di una lunghezza. Ci si puo' liberare della lunghezza con quantita' come , , o simili, quindi e' plausibile che il risultato dipenda da s e d in una di queste forme.
ha dimensioni di lunghezza diviso tempo al quadrato. Non c'e' nessuna altra variabile nel problema che ha dimensioni di un tempo, e nessuna costante fisica che c'entra qualcosa (velocita' del suono? velocita' della luce? sarebbe molto molto strano se c'entrassero). Non c'e' modo di semplificare quella unita' di misura di tempo dal risultato se compare , per cui nel risultato non ci sara'.