205 - Srotolamento di due fili inestensibili

[bosone]

Osserviamo un disco pesante di raggio R, che rotola verso il basso con velocità angolare in senso orario. Il moto del disco provoca lo srotolamento di due fili inestensibili, ad esso arrotolati entrambi in senso antiorario, i cui estremi liberi sono fissati al soffitto. Le direzioni dei fili, che rimangono tesi durante il processo, formano un angolo fra loro. I fili risultano tangenti al cilindro rispettivamente nel punto A e nel punto B.
Dobbiamo determinare il modulo della velocità verso il basso del centro del disco.

[bosone]

Ritengo di dover dare qualche hint. Il centro istantaneo di rotazione del disco è il punto di incontro delle perpendicolari alle velocità per es. nei punti A e B. La velocità di un punto del filo sovrapposto a un punto del disco è quella del punto del disco. Quando il punto del filo arriva in A (B) la sua velocità si annulla diventando uguale a quella dell'estremo del filo fissato al soffitto. Pertanto il filo si srotola in un secondo della velocità di un punto del disco. Questo srotolamento provoca uno spostamento verso il basso dei punti della corda AB nella direzione di AB medesima perchè lo spostamento in un secondo di A in direzione AB è uguale a quello nello stesso secondo di B sempre in direzione di AB. Ma AB è una corda del disco quindi la cosa riguarda anche i punti del disco fra cui il suo centro O....E' un concetto inusuale e complicato...spero di essermi spiegato senza dare il risultato numerico...

[Luca Milanese]

? Se confermi posto il procedimento (o meglio il poco che resta da fare dopo il tuo hint).

[bosone]

Ottimo. Vai con il procedimento e con il 206!

[Luca Milanese]

Proseguo direttamente da quanto hai scritto nell'hint. Dal momento che la corda AB si muove verso il basso e nella direzione stessa di AB, ciò significa che i due punti si trovano uno sopra l'altro in verticale. Da considerazioni geometriche si vede che l'angolo fra i due fili è lo stesso che sottende la corda, quindi l'angolo fra un filo e la verticale è . La velocità lineare sul bordo del disco è . Poichè la velocità in verticale di un punto del filo che arriva in A o B si annulla, si deve quindi avere .

[Gamow00]

Credo che la risposta data sia sbagliata.
Il risultato dovrebbe essere , per il seguente motivo.
Diamo dei nomi: è il centro del disco, mentre è il punto di intersezione tra le linee che contengono i due fili.

La velocità dei punti e è diretta radialmente, poichè tali punti non possono allontanarsi dall'estremità fissa del filo. Quindi il centro instantaneo di rotazione è il punto di intersezione tra i due fili, ovvero .

Dai soliti teoremi sul corpo rigido, il disco ruota instantanemente attorno a , con una velocità angolare che è la stessa con la quale il disco ruota intorno ad . Tale velocità angolare è quindi .
La velocità del disco sarà

[bosone]

Ha assolutamente ragione Gamow che ringrazio. Quando ho giudicato ottima la risposta di Luca mi pareva di ricordare dai miei appunti e dalla risposta al testo ufficiale che la risposta fosse quella (sono molto simili ma molto diverse..). Stamani Gamow mi ha... risvegliato, sono andato a rivedere i miei appunti ed effettivamente la risposta giusta è la sua! Grazie a lui perchè la verità nel nostro gioco è sacrosanta anche se uno ci fa una brutta figura perchè ha controllato frettolosamente! Quindi propongo di lasciare la staffetta inalterata e di proseguire confidando che, meno male, ..... da lassù qualcuno ci controlla!!

[Luca Milanese]

Concordo con bosone, in effetti mi rendo conto adesso di aver scritto parecchie cavolate nella mia "soluzione". In effetti se AB fosse sempre verticale, come avevo detto, allora i fili non potrebbero arrivare al soffitto . La prossima volta vedró di essere più attento.

[Gamow00]

Lieto di essere stato utile Buon allenamento