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1) Un cilindro di raggio e lunghezza infinita possiede una densità di carica uniforme . Si vuole determinare la sua energia potenziale per unità di lunghezza, cioè il lavoro per unità di lunghezza compiuto per assemblarlo. La si calcoli immaginando di costruire il cilindro aggiungendo un sottile strato di carica per volta, essendo la carica inizialmente distribuita uniformemente ad una distanza dall'asse del cilindro, lungo tutta la sua lunghezza.
2) Calcolare l'energia potenziale di un pianeta di massa uniformemente distribuita e raggio , stavolta immaginando di costruire il pianeta portando gli elementi di massa dall'infinito (cioè fissando a distanza infinita lo zero dell'energia potenziale).

Dico prima le risposte (è lungo )
il 2) che è abbastanza promettente
l'1) mi viene un brutto integrale (almeno brutto per chi come me è scarso in analisi) e mi viene

1) Cos'è ?
2) A voler essere precisi, manca una cosa...

1) Oddio scusa era una mia variabile per semplificare i conti, ora ri-sostituisco.
2) Il segno per caso è sbagliato?

1)

1) È giusto! Posta il procedimento.
2) Sì, ci vuole un segno meno. Pensaci prima di scrivere qui il procedimento.

1) Seguendo il tuo consiglio, dividerò il cilindro in tanti strati e li aggiungerò uno dopo l'altro.
Innanzitutto col teorema di Gauss trovo che il campo generato da un cilindro di raggio è distanza R vale
Il lavoro che serve per portare uno "strato" del cilindro da a (che è la distanza dall'asse del cilindro dello strato nella configurazione finale) è
A questo punto non mi manca che sommare tutti gli strati che aggiungo, integrando.
Se considero una porzione di cilindro di lunghezza , allora , integrando su tutti gli strati (da 0 ad a quindi) e dividendo per z ottengo
che ci fornisce la risposta, ossia che è anche l'energia interna, in quanto definita come il lavoro fatto per creare il sistema.
2) Il ragionamento è analogo, solamente che U è negativa poichè l'energia gravitazionale è già attrattiva e tende a formare i pianeti, quindi dobbiamo fornire lavoro negativo.
Il procedimento che ho usato è lo stesso, dividendo però in calotte sferiche e non cilindriche e usando al posto del campo elettrico quello gravitazionale (capitan ovvio?), per poi integrare prima da infinito ad e poi da ad , ricavando con Gauss l'espressione del campo gravitazionale generato da una sfera di raggio r a distanza d.

Perfetto! Avanti col 204!
È interessante notare che, nel caso del cilindro, non si può porre lo zero dell'energia potenziale a distanza infinita, altrimenti il termine col logaritmo diverge, cosa che invece possiamo fare con una sfera.