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Dimostare che l'energia potenziale di un qualunque sistema di cariche elettriche puntiformi in equilibrio è nulla, avendo fissato lo zero a distanza infinita.

Ci provo. Considero un sistema di cariche puntiformi.
Se sono in equilibrio, ognuna delle cariche è in equilibrio, ossia per ogni carica abbiamo che
Possiamo riscrivere la somma come , notiamo che equazioni come queste devono essere soddisfatte contemporaneamente. Moltiplichiamo scalarmente per ed integriamo da a , portando l'integrale dentro alla sommatoria (non so quanto tutto questo sia legale in realtà, ma ho visto giocare con gli infinitesimi in tutti i modi possibili ) ottengo equazioni del tipo ossia
Sommando tutte queste equazioni ottengo ma questa somma è proprio il doppio dell'energia di un sistema discreto di cariche puntiformi, che quindi è 0 all'equilibrio.

Allora... ci sono due passaggi che non mi convincono:
1) quando moltiplichi per dentro la sommatoria, in realtà stai moltiplicando addendi per infinitesimi diversi: vuoi cioè passare da a , che non mi sembra corretto (comunque quoto la frase sugli infinitesimi ).
2) quando poi integri da a quello che stai facendo è calcolare, per ognuna delle cariche, il lavoro necessario a portarla nella posizione in cui si trova, ma ogni volta assumendo che le altre cariche si trovino tutte nella configurazione di equilibrio, mentre dovresti farlo considerando di volta in volta solo quelle che hai già portato.
Comunque esiste una dimostrazione molto più "pulita", che ti invito a cercare anche se riuscissi a sistemare i passaggi qui sopra.

Secondo me le cariche puntiformi se sono in equilibrio devono stare su una retta perchè forze di varie direzioni da parte delle altre cariche su una di esse non possono avere risultante nulla. E' giusto?

E se avessimo un triangolo equilatero con cariche ai vertici e una carica al centro?

ok mi hai convinto

Tanto per continuare il discorso...L'energia potenziale del sistema è intanto, per vedere se ho capito, la somma delle energie potenziali di tutte le possibili coppie di cariche estraibili dal medesimo. Esse dovrebbero essere le combinazioni di n cariche prese due alla volta. Ovvero . Infatti se ci scriviamo il sistema nx(n-1) nel quale si impone che la somma risultante delle (n-1) forze che agiscono su una carica sia nulla perchè siamo all'equilibrio, si osserva che ogni forza compare nel sistema due volte insieme alla sua opposta: interessano la stessa coppia e quindi è possibile determinare il numero delle coppie. Mentre si osserva che allora la risultante totale delle forze del sistema è nulla come si immagina e come la somma agente su una singola carica perchè si suppone il sistema all'equilibrio, mi pare che si potrebbe dimostrare la nullità dell'energia potenziale per assurdo. Infatti se fosse positiva vorrebbe dire che per creare il sistema si è speso più lavoro a portare dall'infinito le coppie a energia potenziale positiva e viceversa se l'energia potenziale fosse negativa. Ma allora in questi due casi il sistema non sarebbe in equilibrio. Pertanto l'energia potenziale deve essere nulla. Ti volevo chiedere cosa pensi di questo tipo di ragionamento

L'energia potenziale è quella di ciascuna coppia di cariche come dici tu, ed è chiaramente corretto anche il calcolo combinatorio. Invece non sono sicuro di aver compreso il seguito del tuo ragionamento: se ho capito bene, ma ne dubito, tu vuoi dire che, essendo nulla la forza agente sul sistema (come effettivamente è all'equilibrio), allora è nullo anche il lavoro compiuto sul sistema, e così dunque l'energia potenziale. Se è questo che volevi dire, allora mi sembra sbagliato, perchè la forza agente sul sistema mentre esso veniva costruito può essere stata non nulla, e così il lavoro compiuto su di esso. Se invece ho frainteso, rispiegami cosa avevi in mente. Comunque l'idea di considerare il lavoro da compiere per portare le cariche dall'infinito può essere utile, ma ancora di più lo sarebbe in senso contrario, cioè riportando le cariche all'infinito dalla loro configurazione di equilibrio.

Ho un idea, credo di aver capito cosa intendi con "più pulita".
Le cariche sono in equilibrio, quindi
La forza di Coulomb cresce proporzionalmente a ed è radiale, quindi se allontano piano piano le cariche puntiformi verso l'infinito, mantenendo le proporzioni delle distanze tra i punti, il sistema dovrebbe sempre essere in equilibrio fino all'infinito. E siccome su ogni carica, il lavoro fatto dalla forza di Coulomb per portarla all'infinito sarà 0, hence la sua energia potenziale e così l'energia del sistema.

Giusto! Vai col 199!