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Due satelliti artificiali, modellizzabili a punti materiali di massa orbitano su orbite circolari (di egual periodo ) attorno ad un pianeta di massa (), il primo satellite ha una distanza dal centro del pianeta (costante) mentre il secondo ha una distanza dal centro del pianeta, .
I due satelliti sono sempre equidistanti, cosicché è la distanza tra di essi (). Una struttura rigida (che puoi modellizzare come un filo inestensibile di lunghezza ) tiene insieme i due satelliti alla stessa distanza, determinare il periodo di rotazione dei satelliti rispetto al pianeta e la forza che la struttura esercita sui satelliti.

Non vorrei dire una sciocchezza... ma da quello che ho capito la velocità angolare dei due satelliti è uguale (essendo il periodo uguale). Quindi, sulla componente radiale, la risultante delle forze agenti sul satellite a distanza R è e sul satellite a distanza R' è .
Ha senso fin qui?

Ha senso, tuttavia scrivendo quell' rappresenta un valore medio, non puoi sapere se le due velocità angolari sono uguali istante per istante. Puoi mostrare che questo è vero in modo più formale considerando che: (fai un bel disegno)

• Le orbite sono circolari, ossia e

• Il supporto che le collega è rigido, quindi

• Notando che puoi scomporre lungo i versori , infatti
  
  
  questo perchè essendo l'angolo compreso tra i vettori R ed R' è molto piccolo e la proiezione di su

Essendo R, R', r costanti in modulo, notiamo che la componente lungo di è costante, e di conseguenza deve esserlo la componente lungo , l'angolo è quindi costante,
, ossia , le due velocità angolari sono uguali in tutto il moto.

Scrivo la seconda parte della mia idea di soluzione.
Detta la componente radiale della tensione del filo, dal II principio della dinamica si ha
sul satellite a distanza R dal pianeta

sul satellite a distanza R' dal pianeta

Si dovrebbe ricavare

e sostituendo si dovrebbe ottenere , da cui si ricava con la formula di prima.

È possibile?


_______________
Grazie alla tua puntualizzazione, mi è venuta in mente questa considerazione. Se è diverso da 0, allora la tensione su ciascun satellite ha una componente tangenziale. Questa componente tangenziale non dovrebbe far ruotare il filo finché non diventa ? In quella condizione di regime effettivamente è costante?

Attenzione, la tua soluzione dovrebbe essere corretta (anche se credo che tu possa approssimare ancora di più) solo se i satelliti sono allineati con il centro del pianeta, ossia
Infatti in generale , a meno che non sia

La tua considerazione sul momento è parzialmente corretta, la rotazione continua però anche dopo che , il momento si inverte e la rotazione frena per poi iniziare nel verso opposto. Si generano quindi delle oscillazioni attorno al CM del sistema formato dai due satelliti. Data la traccia del problema, cosa concludi?

Se non sbaglio, a questo punto potrei affermare che, essendo molto piccolo (e questo l'abbiamo già appurato, siccome r << R etc.), possiamo considerare parallelo a . Così si giustificano i passaggi precedenti.

Detto ciò, provo a scrivere in una forma più compatta:
.
Adesso devo usare delle approssimazioni per semplificare il radicando. Mi sembra sensato, alla luce di tutte le precedenti considerazioni, considerare . Si ottiene così .

Ricordo che, normalmente, un satellite a distanza dal pianeta ha velocità angolare .
Quindi il radicando mi pare sia la media aritmetica dei radicandi che avrei utilizzato se ci fosse stato uno solo dei 2 satelliti.
A me sembrerebbe eccessivo considerare .

Può essere accettabile questa soluzione?

Affinché le orbite siano circolari, non possono esserci delle oscillazioni rispetto al CM del sistema formato dai due satelliti (almeno credo) quindi deve essere che , ossia i due satelliti sono allineati con il centro del pianeta. Quindi anche in modulo , ora la situazione è più semplice da studiare (pensa al CM).
Per quanto riguarda l'approssimazione, ricorda che per x molto piccoli, per quanto riguarda il periodo va bene considerare , ma per trovare F non va più bene fisicamente, perché sarebbe come dire che la struttura rigida non ha lunghezza

Comunque si la risoluzione è corretta, vai pure col 187!