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Può essere conveniente disporre di una formula unica per l’effetto Doppler, se le direzioni delle velocità della sorgente e dell’ascoltatore sono generiche.

Cosa intendi per generiche?

Stabilito un sistema di riferimento U fermo rispetto all’aria, in cui il suono ha velocità w, si consideri in U una sorgente di frequenza propria alla velocità ed un ricevitore alla velocità , disposti in un dato istante in S ed A rispettivamente. Come cambia la frequenza f misurata dal ricevitore al variare delle direzioni delle due velocità? In altri termini scrivere una formula per f, se le due velocità sono inclinate rispetto alla congiungente .

la formula relativistica mi pare sia piu' generale

La formula relativistica per la velocità del suono mi pare poco utile e poco adatta a questo forum, quindi evitiamo di parlarne qua, così magari non scappano gli utenti.

Il problema è fattibile ed ha senso farlo; nella prova di ingresso SNS del mio anno serviva qualcosa del genere (nel 6° problema, con osservatore fermo e sorgente in moto ma non lungo la congiungente).

La formula relativistica è valida per le onde elettromagnetiche.

Se i due corpi si muovono sullo stesso asse vale considerando sempre l'asse positivo dall'osservatore verso la sorgente, dove il segno al nominatore è positivo se l'osservatore si muove verso la sorgente e denominatore negativo se la sorgente si muove verso l'osservatore. Scrivo il metodo che mi è venuto in mente sperando di non dire oscenità

Considero che il primo corpo si muove di moto rettilineo sull'asse x mentre l'altro come una generica retta che in un certo istante passa per l'asse x. Immagino che la distanza dal primo corpo dall'incrocio delle due rette sia il lato di un triangolo generico mentre la distanza dell'altro corpo un altro lato. Dalla matematica sappiamo che dove è l'angolo tra le due rette del moto. Sostituendo a ciascuno spostamento la relazione Vt ottengo una relazione indipendente dal tempo (che mi sembra ragionevole), poi bisogna inserirla nella prima facendo attenzione al valore che assume l'angolo..

Se può andare come metodo poi ci rifletto

Calcolerei l’effetto in questa maniera:
- moto di A su AS con S ferma;
- moto di S su AS con A fermo;
- moto di A ed S su AS;
- moto di A perpendicolare ad AS ed S ferma;
- moto di S perpendicolare ad AS ed A fermo;
- proiezioni delle velocità su AS per la situazione completa.

Premessa : Il sistema di riferimento positivo va sempre dall'osservatore alla sorgente e l'ordinata positiva di conseguenza perpendicolare verso l'alto.

Per i casi in cui la sorgente è fissa e l'osservatore in movimento (se i corpi si muovono su un solo asse) la formula è :


In particolare :
-segno positivo se l'osservatore si avvicina alla sorgente
-segno negativo se l'osservatore si allontana dalla sorgente

Per i casi in cui l'osservatore è fisso e la sorgente in movimento (se i corpi si muovono su un solo asse) la formula è :


In particolare:
-segno positivo se la sorgente si allontana dall'osservatore
-segno negativo se la sorgente si avvicina all'osservatore

Considerando come angolo sempre quello tra il verso dell'ascissa positiva e il moto del corpo ho trovato:

Per S fissa e O in movimento


Per S mobile e O in movimento


Unendo le due formule:


Nella scelta dei segni ho considerato anche che il coseno dell'angolo se maggiore di 90° sarà negativo se minore positivo.
Riporto solo l'ultimo dei disegni che ho fatto perchè ci vuole troppo tempo a metterli tutti e si tratta solo di semplici considerazioni

Supponiamo fisso l'osservatore e sorgente che si allontana, l'angolo che mi interessa è il cui coseno è positivo quindi il denominatore della formula è positivo, come ci si aspetta, se S si avvicina si deve considerare l'angolo il cui coseno è negativo, per cui denominatore negativo e
Lo stesso ragionamento si può fare S fisso e O mobile.
Anche supponendo che O fisso ed S mobile su un solo asse ho che il coseno mi determina il segno..

Ammesso che non abbia sbagliato niente, non si poteva fare anche col metodo che ho proposto prima ?

Non trovi che chiamare entrambi gli angoli dia luogo a possibili errori/fraintendimenti?