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Un oggetto che considereremo puntiforme di massa è appoggiato, in presenza della gravità , nel punto più basso all'interno di una cavità semicilindrica di raggio con asse orizzontale. All'oggetto viene conferita una velocità orizzontale lungo un piano perpendicolare all'asse del semicilindro, così che esso comincia a muoversi lungo la parete semicilindrica. Trascurando l'attrito si calcoli:
1) per quale intervallo di valori di si ha il distacco dalla parete semicilindrica prima di aver raggiunto il suo punto più alto a quota ;
2) l'altezza alla quale avviene il distacco dalla parete;
3) l'altezza massima raggiunta nella traiettoria.

Io ho capito che la sezione del cilindro con un piano verticale perpendicolare all'asse è una circonferenza di raggio R. Si parla di semicilindrica perchè il problema considera solo una parete. E' così?

Sì, è così. Il testo l'ho preso pari pari dal libro dei problemi di fisica della Normale, ma in effetti si poteva dire meglio.

Al solito posto il procedimento se i risultati sono corretti. Il distacco avviene se la reazione della parete, che deve essere positiva cioè rivolta verso il centro come la forza centripeta, si annulla. E' allora opportuno, considerando l'angolo con vertice nel centro della circonferenza sezione formato con la verticale dal raggio posizione dell'oggetto, considerare prima il caso e poi . Ho trovato nei due casi per cui si distacca dalla parete in funzione di e sostituendo i valori numerici per mi risulta

1) nel primo caso e nel secondo per cui insomma

2) per l'altezza a cui avviene il distacco dalla parete mi risulta nel primo caso che si raccorda a 90° con trovata nel secondo caso. (Infatti per risulta in entrambe h=R come deve essere a 90°)

3) la quota altezza massima della traiettoria la raggiunge per v=0 ed è . Infatti se v=0 tutta l'energia cinetica iniziale si trasforma in energia potenziale e quindi in quota. Nel caso però che pur avvenendo il distacco prima di 2R come chiede 1), il massimo è superiore a 2R per cui la traiettoria parabolica concava verso il basso che si libera dalla parete, incontra il cilindro in prossimità di 2R e viene respinta verso il basso.
Tutto ciò ovviamente se non ho sbagliato il procedimento e/o i conti. Sono ormai giorni che ci penso...

L'impostazione generale va bene. Per quanto riguarda il primo punto, non è del tutto esatto ciò che hai scritto. Prova a pensare a cosa succede davvero se . Il secondo punto è corretto. Nel terzo, non è vero che tutta l'energia cinetica diventa potenziale nel punto di massima altezza...

Mi interessa molto il terzo punto. Si mantiene come cinetica la componente orizzontale della velocità che aveva al momento del distacco?

Sì, è così.

3) altezza massima raggiunta nella traiettoria

Allora togliendo all'energia cinetica iniziale quella della componente orizzontale di otterrei per l'altezza massima raggiunta nella traiettoria
che è in effetti minore di dato che cos<0. Dovrebbe funzionare perchè per abbiamo che , per abbiamo che raccordandosi al caso sotto; ad es. per h(distacco)= 3/2.R abbiamo

in questo caso intanto trovo che a 90°, annullandosi la componente del peso lungo la normale, si deve annullare anche v per cui h(distacco) = (vedi formula post precedente che dici è giusta). Ora per gli altri valori di da 0° a 90°il vettore velocità è verso l'alto, forma un angolo retto con la normale alla parete e se non ci fosse la parete semicilindrica la parabola del proiettile sarebbe esterna alla parete stessa. Io allora ho pensato che la parete rifletta il vettore che forma ancora un angolo retto secondo la legge della riflessione ma è diretto verso il basso... Se ciò accade, per questi valori di l'altezza di distacco coincide, come a 90°, con l'altezza massima della traiettoria. (Avevo anche pensato che nell'urto con la parete si invertisse solo la componente orizzontale della velocità e potesse fare ancora la parabola all'interno ma...non saprei perchè..)

Per quanto riguarda , il risultato è giusto, anche se ti inviterei a scriverlo solo in funzione di ed (in fondo dovresti esserti già ricavato ).
Per è giusto.
Quanto a , di nuovo stai perdendo d'occhio qualcosa di fondamentale (davvero può staccarsi l'oggetto in questo caso?)...

Scusa la battuta ma se ho sempre risposto affermativamente alla tua domanda la "colpa" è tua...Infatti mi hai risposto che l'impostazione generale (fondata sull'annullarsi di N al distacco) era giusta e soprattutto che al punto 2) la mia risposta era esatta ed io, puoi controllare, avevo affermato che fra 0° e 90°l'altezza di distacco era . Quindi mai ho preso in esame la possibilità che in quell'intervallo poteva non distaccarsi! Ti prego di darmi ancora tempo perchè questo pomeriggio non posso lavorarci.