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Un atomo idrogenoide è un atomo con nucleo di carica e massa attorno al quale orbita un solo elettrone, di massa e carica . In questo problema, supponiamo che l'elettrone possa percorrere solamente orbite circolari attorno al nucleo, con momento angolare quantizzato , dove è una costante e .

1.)Determinare i raggi delle orbite possibili e le energie di legame del sistema.
2.)Si supponga (atomo di idrogeno). Quanto vale l'energia di ionizzazione di questo atomo?

Si inviano dei raggi X su diversi isotopi di un atomo idrogenoide e si vuole stimare il raggio del nucleo dell'atomo valutando come l'energia della transizione dallo stato di energia minima al primo stato eccitato dipende dal numero di nucleoni A dell'atomo. In questo modo, però, si ottengono variazioni di energia molto piccole (dell'ordine del centesimo di ) che non consentono stime precise.

Un muone è una particella di carica e massa che interagisce con il nucleo solo con l'interazione elettromagnetica.

3.)Si potrebbe fare una misura migliore usando un atomo muonico (ovvero un atomo in cui l'elettrone è stato sostituito da un muone)?
4.) (non olimpico) (difficile) Usando un modello più corretto dell'atomo e supponendo che il raggio del nucleo sia approssimativamente nella forma , dove è una costante, spiegare quantitativamente come si può ricavare nel metodo descritto.


Il 4.) è decisamente non olimpico; se qualcuno lo sa fare e vuole provare a spiegare almeno un po' quello che ci sta dietro agli altri, faccia pure...

1) Scrivere l’espressione dell’energia totale dell’elettrone nel campo di Ze, l’uguaglianza tra forza centripeta e forza elettrica, la formula del momento angolare e la sua quantizzazione, fare sistema e ricavare ed ;

2) Applicare il risultato precedente per Z=1 ed n =1 e calcolare l’energia della prima orbita;

3) Il muone, avendo una massa cospicua, è caratterizzato da orbite di minor raggio rispetto all’elettrone e può viaggiare nel nucleo;

4) Considerando il campo, il potenziale e l’energia elettrica del muone in una sfera carica uniformemente ed applicando il metodo 1), si riesce a quantizzare l’energia che dipende anche dal raggio del nucleo e quindi da A. Se Pigkappa si riferisce allo spostamento isotopico, occorre per quanto mi risulta applicare un metodo perturbativo ed introdurre la funzione d’onda imperturbata e ciò può essere estratto da qualche testo di fisica nucleare, ma mi sembra difficile per le olimpiadi.