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Mostra che particelle incidenti su una superficie piana hanno percorso, in media, una distanza $2/3 \lambda$ perpendicolare alla superficie dalla loro ultima collisione.

Supponiamo di studiare gli urti che avvengono con una superficie di area $\Delta S$ . Dato che il cammino libero medio è $\lambda$ , le particelle che potrebbero impattare sulla superficie sono sulla calotta semisferica di raggio $\lambda$ e centro in $\Delta S$ . Il punto è che le particelle sulla semisfera sono di più mano a mano che ci si avvicina alla superficie (perché il raggio è maggiore), ma la superficie efficace (ovvero la componente perpendicolare di $\Delta S$ ) è minore. Quindi possiamo supporre che il numero di palline che sbatte su $\Delta S$ è proporzionale all'area di una fascia sulla semisfera e alla superficie efficace: $dN= k \cdot ( \Delta S \sin{\theta})(2\pi \lambda \cos{\theta} d\theta)$ dove $\theta$ è l'angolo che $\lambda$ forma con $\Delta S$ . A questo punto, basta integrare sulla quota e dividere per il numero totale di particelle per ottenere la quota media, che è l'incognita del problema:

$<h>= \frac{1}{N} \int_{0}^{\pi/2} k\Delta S\lambda^2 \sin{\theta}^2cos{\theta} \, d\theta$

dove $\lambda \sin{\theta} = h$ e $N= \int_{0}^{\pi/2} k\Delta S \lambda \sin{\theta} \cos{\theta} \,d{\theta}$ .

Svolgendo il calcolo si ottiene $<h>=\frac{2}{3} \lambda$ .

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Cammino Medio

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Re: Cammino Medio