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Ai due estremi di una sbarra conduttrice di lunghezza $L$ , sezione $S$ , conducibilità termica $k$ , resistività $\rho$ viene applicata una differenza di potenziale $V$ . Sapendo che in condizioni di equilibrio i due estremi sono a temperatura $T_1$ e $T_2$ calcolare, sempre in condizioni di equilibrio, $T(x)$ con $x$ la distanza dall'estremo a temperatura $T_1$ .

Ecco la mia soluzione.

Considero un elemento infinitesimo della sbarretta $\mathrm{d}l$ : in esso si svilupperà del calore dovuto all'effetto Joule, che dovrà essere dissipato per conduzione.
Essendo la situazione di equilibrio: $\mathrm{d}P_{Joule}+\mathrm{d}P_{cond}=0$

$\mathrm{d}P_{Joule}={\mathrm{d}V^2 \over \mathrm{d}R}={V^2\mathrm{d}l^2/L^2 \over \rho\mathrm{d}l/A}={V^2A \over \rho L^2}\mathrm{d}l}$
$\mathrm{d}P_{cond}$ sarà dovuta alla differenza tra calore entrante e calore uscente:

$\mathrm{d}P_{cond}=KA \times \Bigg({\mathrm{d}T(l) \over \mathrm{d}l} - {\mathrm{d}T(l+\mathrm{d}l) \over \mathrm{d}l}\Bigg)=-KAT''\mathrm{d}l$ , dove con $T''$ indico la derivata seconda di $T$ rispetto a $l$ .

${V^2A \over \rho L^2}\mathrm{d}l-KAT''\mathrm{d}l=0$

${V^2 \over \rho LK}=T''$

Integrando due volte ottengo:

$T'={V^2 \over \rho L^2K}l+ c_1$

$T={V^2 \over 2\rho L^2K}l^2+ c_1l+c_2$

Siccome $T(0)=T_1$ $\Rightarrow c_2=T_1$

$T(L)=T_2={V^2 \over 2\rho LK}l^2+ c_1l+T_1$
$T_2-T_1={V^2 \over 2\rho K}+ c_1L$
${T_2-T_1 \over L}-{V^2 \over 2\rho LK}= c_1$

Quindi:

$T(x)={V^2 \over 2\rho L^2K}x^2-\Bigg({T_1-T_2 \over L}+{V^2 \over 2\rho LK}\Bigg) x + T_1$

buona! posta pure il 177

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176. sbarra conduttrice

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