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Un coniglio si muove arbitrariamente nel piano mantenendo il modulo della sua velo-
cità costante. Una volpe lo insegue muovendosi anche essa con velocità costante in
modulo , dirigendosi istante per istante nella direzione del coniglio.
Dimostrare che indipendentemente dalla traiettoria scelta dal coniglio esso verrà
raggiunto in un tempo finito se >

La volpe parte dall'origine di un piano cartesiano, la distanza iniziale volpe-coniglio è . Dopo un intervallo di tempo vale che è massima per . Ma in questo caso è evidente che la volpe raggiunge il coniglio (si muovono su una retta)

Non capisco perché hai semplicemente ; mica è un prodotto scalare tra vettori paralleli?
E poi così avresti dimostrato che la migliore strategia locale per non farsi prendere dal coniglio li fa incontrare in un tempo finito. Ma nessuno ha detto che il coniglio è intelligente; non puoi sapere se esiste o no una strategia "peggiore" che richiede un tempo infinito. In sintesi, devi dimostrare che qualunque percorso facciano devono incontrarsi in un tempo finito.
Rilancio: tempo massimo prima dell'incintro?

Se ho capito bene quello che ha scritto Lance, credo che vada bene... Comunque scrivo quello che ho pensato. Non so come si inseriscono le immagini quindi descrivo a parole: si immagini di prendere un sistema di assi cartesiani in cui la volpe occupa il centro, e si immagini di posizionare il coniglio sull'ascissa positiva a distanza dalla volpe.

Dopo un tempo sufficientemente piccolo, i cammini dei due animali si possono immaginare rettilinei. La volpe si è mossa lungo (dato che il coniglio si trovava su ) mentre il coniglio si è mosso in una direzione qualsiasi con angolo rispetto alle ascisse.

Si indichi con la nuova distanza tra la volpe e il coniglio. Per disuguaglianza triangolare si può scrivere:

dove è la distanza infinitesima percorsa dal coniglio e dalla volpe. Dato che (perché le velocità sono diverse) allora la disuguaglianza si può maggiorare scrivendo .

L'uguaglianza in si ha solo se il coniglio si muove lungo (quindi ). In tal caso il tempo necessario affinché la volpe prenda il coniglio è: da cui si deduce che maggiore è la velocità della volpe, prima il coniglio verrà catturato.

Okay ora ho capito anch'io

effettivamente non mi sono spiegato benissimo..

ma generalizzare in 3d?

Forse è uguale perché si può far sempre passare un piano per le tre posizioni degli animali (la posizione iniziale e finale del lupo e quella iniziale del coniglio sono sulla stessa retta), quindi si riconduce al caso 2D.

Effettivamente bastava una disguaglianza triangolare senza fare conti... Bravo nicarepo

In 3d è sicuramente la stessa cosa, perché i vettori velocità dei due corpi in un dato istante sono contenuti in uno stesso piano (perché la volpe punta sempre al coniglio)

Grazie , comunque ho un esercizio interessante da proporre se a Lance non dispiace...
@Ruben questo problema dovrebbe essere il 163, puoi cambiarlo?