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Una semisfera trasparente di vetro di raggio $R$ e massa $m$ , avente indice di rifrazione $n$ , si trova in un mezzo con indice di rifrazione uguale a 1. Un fascio laser monocromatico incide nel centro della parte piatta della semisfera. L'accelerazione di gravità $g$ è diretta verso il basso. Il raggio $\delta$ del fascio è molto minore di $R$ . La semisfera non assorbe la luce ed è rivestita di un materiale che rende trascurabile la riflessione. Trovare la potenza $P$ del laser necessaria per bilanciare il peso della semisfera.

Se la soluzione è giusta invio il procedimento

no non torna... però l' $(n-1)^2$ al denominatore è giusto

A me viene così:
$P={4cmgR^2 \over \delta^2(n-1)^2}$

Buona! posta pure il procedimento

Consideriamo un raggio di luce a distanza $x$ ( $x \leq \delta$ ovviamente) dall'asse della semisfera. Il raggio forma con la normale alla superficie un angolo $\alpha = \delta / R \ll 1$ . Per la legge di Snell l'angolo $\beta$ che forma il raggio rifratto con la normale alla superficie rispetta la formula: $n\sin{\alpha}=\sin{\beta}$ . Per lo sviluppo in serie di Taylor (@Buraka visto che servono?):
$n\alpha \approx \beta$
Di conseguenza l'angolo $\gamma$ di cui viene deviato l'angolo rispetto alla sua direzione di propagazione originaria è $\beta - \alpha= (n-1) \alpha$ .
Considero adesso una corona circolare di raggio $x$ e spessore $dx$ ; la quantità di moto portata dai raggi di luce in questa sezione sarà:
$dP={P_{TOT} \over A_{TOT}}dA=P_{TOT}{2\pi x dx \over \pi \delta^2}=P_{TOT}{2 R^2 \alpha d\alpha \over \delta^2}$ .
La variazione della quantità di moto verticale dei raggi in questa sezione è
$d \Delta P=dP(1- \cos{\gamma})= dP(1- \cos{(n-1) \alpha}) \approx dP (n-1)^2{\alpha^2 \over 2 }$
$d \Delta P= P_{TOT}{2 \alpha d\alpha}(n-1)^2{ R^2 \alpha^2 \over 2 \delta^2}= P_{TOT}(n-1)^2{R^2 \alpha^3 d\alpha \over \delta^2}$ .

Integrando da $0$ a $\delta / R$ :
$\Delta P_{TOT}= P_{TOT}(n-1)^2{R^2 \over \delta^2}{\delta^4 \over 4R^4}= P_{TOT}(n-1)^2{\delta^2 \over 4R^2}$

Per la seconda legge della dinamica: ${d\Delta P_{TOT} \over dt}=mg$ .
${{dP_{TOT} \over dt}(n-1)^2{\delta^2 \over 4R^2} =mg$
Essendo un fascio di luce vale la relazione $E_{TOT}=P_{TOT}c$
${{dE_{TOT} \over dt}(n-1)^2{\delta^2 \over 4R^2} =mgc$
(D'ora in poi con $P$ si indica la potenza)
$P(n-1)^2{\delta^2 \over 4R^2} =mgc$

$P ={4cmgR^2 \over \delta^2(n-1)^2}$

vai col prossimoo

@gamow00 : potresti spiegare meglio il calcolo della differenza di quantità di moto verticale? Perché a me verrebbe $p_i-p_r = \frac{h} {\lambda} cos ( \alpha) - \frac{n h} { \lambda} cos ( n \alpha)$ per singolo fotone ovviamente

@Aleksej99: all'inizio la quantità di moto è semplicemente $p_{i}={h \over \lambda}$ . I fotoni infatti viaggiano lungo la direzione verticale, quindi la loro quantità di moto è tutta verticale.
Ora calcoliamo l'angolo di deflessione rispetto alla direzione iniziale .Il raggio incidente forma un angolo $\alpha$ con la normale alla superficie della sfera, mentre quello rifratto un angolo $n\alpha$ ( ho usato l'approssimazione $\sin{n \alpha}= n \alpha$ ).
L'angolo di deflessione rispetto alla direzione è la differenza tra questi due angoli (fai la figura per vederlo) quindi è $(n-1) \alpha$ . La quantita di moto finale verticale sarà $p_{r}=p_{i} \cos{(n-1) \alpha}$ .
La variazione è $\Delta p= p_{i}-p_{f}=p_{i}[1- \cos{(n-1) \alpha}]$ . Ricordando che $\alpha \ll 1$ , $\cos{(n-1)\alpha } \approx 1-{(n-1)^2 \alpha^2 \over 2}$ per l'espansione in serie di Taylor del coseno.
Segue: $\Delta p= p_{i}-p_{f}=p_{i}(1- \cos{(n-1) \alpha}=p_{i}\Big[ 1- 1+{(n-1)^2 \alpha^2 \over 2}}}\Big] =p_{i}{(n-1)^2 \alpha^2 \over 2}}=p_{i}{(n-1)^2 \alpha^2 \over 2}}$

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141. Levitazione

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