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Si consideri un sistema di $N$ corpi legato gravitazionalmente, con energia totale $E \leq 0$ . Si ponga l'origine delle coordinate nel centro di massa del sistema e l'asse $\hat{z}$ avente direzione e verso del momento angolare $L$ del sistema. Sia $I$ il momento d'inerzia del sistema rispetto all'asse $\hat{z}$ . Sia $V$ l'energia potenziale del sistema. Dimostrare che:

$IV^2 \geq 2|E|L^2$

$|E|=-K-V$ dunque
$IV^2 \ge -2(K+V)L^2$ dalla quale $IV^2+2LV^2+2KL^2 \ge 0$
Questa sarà sempre vera se e solo se $\Delta = 4(L^4-2IKL^2) \leq 0$ ovvero $L^2 \leq 2IK$
Sappiamo però che $K \ge K_{rot} = \sum \frac{1}{2} m \omega ^2 r^2$ , $L= \sum mr^2 \omega$ , $I= \sum mr^2$ e dunque dalla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz sulle $N$ -uple $(\sqrt{mr^2}; \ldots ),(\sqrt{m \omega ^2 r^2} ; \ldots )$ otteniamo
$L^2 \leq 2IK_{rot} \leq 2IK$ ovvero la tesi ...

Curiosità per lance00, fai la quarta ?

Buona! A te il testimone

Comunque si, faccio quarta

Sui social uno può dichiarare quello che vuole. Ma uno può anche credere quello che vuole

Cosa stai insinuando carol?

Anch'io sono di quarta

e sono qui nel forum

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132. Disuguaglianza

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Re: 132. Disuguaglianza

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