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Si abbia un satellite artificiale costituito da due sferette uguali di massa legate rigidamente da una sbarra di lunghezza e di massa trascurabile. Si vuole studiare il moto del satellite attorno al suo centro di massa mentre questo orbita attorno alla terra su di una traiettoria circolare di raggio . La sbarra forma un angolo con la linea che congiunge G col centro della Terra.
(a) Per quali valori di il satellite è in equilibro rotazionale?
b) Tenendo conto che mostrare il momento delle forze agenti sul satellite è
(c) calcolare il periodo delle piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio stabile per r = 7000 Km, L = 5m e m=4kg

Risolverò prima il prima il punto b)
Ponendoci su un sistema di riferimento (non inerziale) solidale con il CDM del satellite, su ogni massa agiscono due forze: quella centrifuga e quella gravitazionale. La massa di destra orbita a una distanza mentre quella sinistra a , dove . Il momento totale è uguale alla somma dei quattro momenti torcenti, presi con segno. (indicherò con la velocità angolare)





Siccome :

Grazie alle condizioni di orbita trovo che . Sostituisco nell'equazione principale:




Essendo
che corrisponde a quella data dal testo ( a meno del che penso sia sfuggito).
L'oggetto è in equlibrio rotazionale quando quindi se . Le soluzioni sono

Se all'oggetto viene dato un "colpetto", però, la situazione si complica. Infatti se l'oggetto si trova nella posizione , il momento torcente non agisce in modo da avvicinare il corpo alla posizione iniziale, ma in senso contrario. La situazione è quindi di equilibrio instabile. Invece in le forze tendono ad annulare il colpetto iniziale: si tratta di equilibrio stabile.
Per calcolarne le oscillazioni:
Noto che

E' un classico moto armonico e il suo periodo è .

giusta! In effetti avevo scritto male la formula, ora è corretta. Per quanto riguarda T, il procedimento è giusto però dovrebbe venire dell'odg di 10^3..

Ho corretto
Mi ero dimenticato di fare il raggio alla terza