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Visto che il problema 125 è rimasto irrisolto per più di due mesi, mi riapproprio del testimone (scusa Ruben! )

Si consideri una penna disposta verticalmente rispetto a un piano orizzontale. La si idealizzi come una massa puntiforme all'estremità di un'asta priva di massa di lunghezza .
(a) Assumendo che la penna formi inizialmente un (piccolo) angolo con la verticale e abbia una velocità angolare iniziale , trovare finché è piccolo
(b) si potrebbe pensare che sarebbe possibile (almeno teoricamente) mantenere la penna in equilibrio per un periodo di tempo arbitrariamente lungo, se si rendono e abbastanza piccoli. Invece si può dimostrare, applicando il principio di indeterminazione di Heisenberg (, che la penna non può stare in equilibrio per più di un tempo . Trovare

per il punto a:
considero il punto di contatto tra l'asta e il piano orizzontale come polo
allora:
(usando l'approssimazione)
cioè


quindi:

scusate ho dovuto rimettere il messaggio a causa di alcuni errori
per il punto a:
considero il punto di contatto tra l'asta e il piano orizzontale come polo
allora:
(usando l'approssimazione)
cioè


quindi:

Dudin, penso che tu abbia commesso un'errore nell'ultimo passaggio. Hai sostituito l'accelerazione nella formula del moto uniformemente accelerato, che tanto uniforme non è. Continuo io da quel punto.

E' un'equazione differenziale simile a quella del moto armonico, ma con il segno diverso. Si risolve allo stesso modo (sostituendo ) e restituisce una soluzione molto simile, solo con le funzioni iperboliche. Vi risparmio (e mi risparmio) tutti i passaggi, che comunque scriverò se qualcuno non li trova chiari.



Questa è la mia soluzione al punto a.
Per il punto b) non mi è ancora chiaro come procedere; penso bisogni fare da qualche parte un'approssimazione ma non so dove.

Buona Gamow00! Prova a scriverla come per fare le approssimazioni

Ok, dovrei esserci.
Per definizione e . Quindi per abbastanza grandi (ma neanche troppo), posso scrivere .
Sostituendo nell'equazione:



Utilizzando il principio di inderminazione di Heisenberg (per semplicità uso il caso dell'uguaglianza):



A questo punto, sarà massimo quando è minimo. Derivando rispetto a , trovo che il valore minimo dell'espressione è

Quindi:

Risolvendo per :



Ora, sarà un angolo "di non ritorno", superato il quale la matita sicuramente comincerà a cadere. Prendo come valore numerico . Come prendo e pongo . Il valore di è .

Sostituendo nella formula ottengo , che è sorprendentemente breve.

tutto giusto, solo che secondo me nell'ultimo passaggio ti sei scordato una radice:
che se uno vuole può riscrivere come
comunque puoi postare il 127

Sì giusto mi è proprio scappata quella radice.
Bel problema comunque!