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Si hanno due serbatoi contenenti entrambi di acqua, il primo alla temperatura , il secondo alla temperatura . Qual è il massimo lavoro estraibile da questo sistema?

Dato Q1 il calore tolto dal serbatoio 1 con temperatura T1 > T2, c = 4186 J / (Kg °C) e m = 1 Kg allora:

L= η Q1 e η = (T1 - T2)/ T2 e Q1 = c m (T1 - T2) , dato che rappresenta il calore sottratto all'acqua.
Unendo le equazioni risulta che L = (c m (T1 - T2)^2 )/T1

Molto difficile e anch'io provo. Siccome la massima q di calore che può passare da a è quella ottenuta irreversibilmente miscelando le due acque che raggiungono alla fine la temperatura semisomma , avevo pensato ad una serie di trasformazioni reversibili (cicli di Carnot) fra lo stesso stato iniziale e quello finale attraverso una macchina di Carnot ideale reversibile avente quindi il max rendimento per ogni ciclo che lavora fra la sorgente e il refrigerante . Essa può lavorare estraendo calore alla sorgente e scaricandolo sul refrigerante finché le temperature di entrambi non si uguagliano nella semisomma. Si può pensare ad una serie di cicli infinitesimi fra T (compreso fra la semisomma e ) e T'(il suo simmetrico rispetto alla semisomma compreso fra e la semisomma stessa). La macchina assorbe a T e cede a T' in modo che nel ciclo la variazione di entropia come in Carnot sia nulla e quindi il rapporto fra le q assorbita/ceduta è uguale a quello fra le temperature. Applicando lo scomponendo si ricava il lavoro. Integrando per T che va dalla semisomma a si trova il lavoro totale che dovrebbe essere il max possibile e che mi sarebbe venuto con c ed m calore specifico e massa del di acqua. Dimmi se può essere verosimile o se c'è qualche errore concettuale, della correttezza materiale dei calcoli ce ne importa poco!

carol la temperatura finale può essere minore di , pensaci bene

JacopoTosca: non puoi usare quella formula per il rendimento, le temperature dei due serbatoi man mano cambiano, non sono costanti

Chiamo la temperatura della sorgente calda e quella della sorgente fredda . La capacità termica di ognuna delle due masse d'acqua è . Allora (il segno meno è dovuto dal fatto che il lo prendo positivo mentre è negativo) e .Dividendo le due equazioni ottengo: . Per massimizzare il lavoro lo scambio di calore deve avvenire grazie a una macchina di Carnot. Di conseguenza e . Sostituendo nell'equazione sopra: . Integrando ottengo: . Quindi e di conseguenza . Il calore smettera di fluire quando , quindi . Se il calore fosse fluito liberamente ( senza macchina di Carnot) la temperatura finale sarebbe stata . Per calcolare il lavoro basterà calcolare l'energia termica che è stata persa, ossia

Si ma io avevo pensato di rendere reversibile il processo di mixaggio che terminava alla semisomma. Riconosco che l'equilibrio si raggiunge alla media geometrica e che quindi va modificato lo schema ma non la concezione che anche per Gamow mi pare giusta. Per vedere se torna come Gamow che in sostanza mi pare dica che la differenza fra le energie termiche del caso irreversibile e reversibile dà il lavoro massimo. Ci devo pensare sono a scuola e integrando per T che va da a otterrei ....

Ci tengo a mostrare da casa con calma che anche il mio procedimento era giusto a parte la temperatura di equilibrio che anzichè dedurla dall'annullarsi della variazione d'entropia del ciclo avevo dato per scontato che dovesse essere la semisomma anzichè la media geometrica. Riprendendo il mio primo post abbiamo allora per l'annullarsi dell'entropia e applicando lo scomponendo si deduce subito dove allora e quindi .
Integrando si trova allora essendo c ed m rispettivamente il calore specifico e la massa del metro cubo di acqua.

lance00 ha scritto: ↑

19 dic 2017, 19:51

JacopoTosca: non puoi usare quella formula per il rendimento, le temperature dei due serbatoi man mano cambiano, non sono costanti

Si hai ragione il sistema non è ideale. Mi ero reso conto dell'errore e stavo cercando una soluzione tramite gli integrali

ok carol e Gamow00
posto anche la mia, per i futuri lettori