~~~~~~~~~ 99~~~~~~~~~

[Flaffo]

Siamo finalmente giunti al numero 99 della nostra staffetta! Un evento molto importante!
Come ben sapete, il numero 99 risulta protagonista in molte situazioni. Tanto per cominciare è palindromo, è la somma dei cubi di tre numeri consecutivi ; è un numero di Ulam ma è anche un numero kaprekar cioè uno dei numeri interi positivi il cui quadrato può essere diviso in due parti, tali che sommate fra loro danno come risultato ancora il numero iniziale: . Ma, per renderci conto della sua vera importanza, scomponiamolo. : I due fattori sono uno, 33, gli anni di Cristo quando morì sulla croce e 3 che è il numero della Divinità e della Sacra Trinità. È lasciata al lettore la conclusione, triviale, della potenza infinitamente più infinita del numero 99 rispetto al numero 100.

E ora il momento che tutti stavate aspettando da 98 staffette;il problema della 99- esima staffetta!

Due corpi sferici, masse e , sono uniti da una corda che passa sopra a una carrucola, di massa trascurabile, montata su un tavolo. Inizialmente la massa è appoggiata sul tavolo, con la corda che forma un angolo di con il piano del tavolo, e la massa ,sospesa in verticale, è tenuta ferma. Assumendo e attrito trascurabile; il corpo sarà sollevato immediatamente dopo il rilascio del corpo ?

[pietro31700]

Nonostante mi sembri troppo facile per essere vero, pubblico la mia soluzione.
Quando il sistema viene rilasciato, la tensione della fune tende a sollevare a 45* il corpo, quando ciò avviene la componente orizzontale del peso di m (se si prende come sistema di riferimento la corda e la normale alla corda) tende a riportare sul tavolo m (infatti non ci sono altre forze che agiscono sullo stesso asse). Quindi la risposta a cui avevo inizialmente pensato era No, il corpo slitta sul tavolo prima di alzarsi. Poi però ho pensato che M>>m perciò la forza che tende a sollevare il corpo a 45* è che è pressapoco uguale a , la componente invece 'orizzontale' del peso ha modulo la somma di queste due forze è perciò diretto praticamente verso la corda, quindi il corpo si solleva immediatamente.

[guido]

Ci vuole molto coraggio a rispondere ai problemini di Flaffo perchè la probabilità di fallire è altissima. Ma noi siamo fissati per cui rischiamo volentieri...
Al momento del rilascio M assume l'acc. g che trasmette immediatamente alla corda e a m. Ha la componente lungo il piano senza attrito di (g.cos 45); quella verticale è uguale ma ad essa deve sommarsi ( -g) di m: in conclusione la componente verticale dell'acc. è negativa. Per cui io penso che non dovrebbe sollevarsi immediatamente.

[Flaffo]

Per Pietro: la componente che tende a sollevare il corpo a non può valere . Per avremo. Cioè assumerebbe un valore arbitrariamente grande in questa direzione. E comunque se la forza applicata a valesse realmente , la tensione nella corda sarebbe anche e quindi resterebbe fermo. Prova a rifare i conti o a utilizzare un altro approccio.

Per Guido: apprezzo il tuo coraggio
Comunque l'accelerazione iniziale su x ( e quindi su y) non è . A volte può essere difficile visualizzare l'accelerazione in un certo istante perché non ci sono distanze coinvolte. Però prova a pensare di quanto si accorcia la corda in ogni istante e da lì (imponendo certe condizioni) ti ricavi l'accelerazione su x. È utile fare un ragionamento per assurdo.

[CaptainJohnCabot]

Io avevo appunto lavorato con la lunghezza della corda. Se riesco a formalizzare il ragionamento provo a postarlo.

Cuori coraggiosi che conoscono la semplice verità che il problema 100 è più prestigioso del 99, nonostante gli strani argomenti trinitari di Flavio

[Flaffo]

Questo è ciò che crede la gente comune
Altrimenti, perché mai avrei scelto di risolvere il 98 per avere il 99?

[CaptainJohnCabot]

Secondo me ti sei distratto

Provo a scrivere uno dei procedimenti che ho tentato (ovvero l'unico portato più o meno a termine )

Sia la distanza tra il centro della puleggia e la massa m, assunta puntiforme.
Si supponga che nel tempo la massa M scenda di H. Allora H sarà anche la variazione della lunghezza del filo oltre la puleggia.
Si suppone per assurdo che la massa m si muova solo orizzontalmente di una distanza x, si pone allora e .
Si ha:

Inserendo le disuguaglianze iniziali e considerando i valori minimi si ottiene:

Da sopra si ha:

Sostituendo H con il suo valore massimo si ottiene che il LHS è maggiore del RHS, quindi si avrà sempre:

Il che è un assurdo rispetto all'ipotesi assunta ad inizio problema, ovvero che m si muova solo orizzontalmente.
Si conclude quindi che da subito m deve muoversi anche in verticale.

Spero di non aver fatto errori di distrazione, in caso chiedo venia in anticipo, dato che scrivo da telefono

Per il resto c'è da dire che questo approccio è proprio malato, la cosa più semplice è proprio vedere che è non nulla

[CaptainJohnCabot]

Volendo è possibile anche ragionare con le accelerazioni. Assumendo la notazione di sopra:

Con
Si ottiene allora . Tuttavia dato che la forza agente su m è si ha anche:

Si ricorda che e allora:

Sostituendo all'interno di tale espressione il massimo valore di H si mantiene la disuguaglianza e si ottiene:

Che in effetti è la condizione affinché m non venga sollevata nel suo moto orizzontale. Tuttavia, questo è un assurdo rispetto all'ipotesi che , quindi m inizia da subito il moto verticale.

[guido]

Solo oggi riesco a trovare il tempo con imbarazzante ritardo. Seguendo il tuo suggerimento e supponendo per assurdo che lo spostamento sia solo orizzontale mi viene che questo spostamento infinitesimo dx>dl ovvero dell'accorciamento della corda l di qua dalla carrucola. dl è anche lo spostamento verticale di M. Quindi anche l'acc. di m lungo l'asse x sarebbe maggiore di quella di M in discesa. Ho applicato le equazioni del moto considerando che m è trascinata sull'asse x dalla tensione T della corda per il seno dellangolo formato da l con la verticale ed ottengo la relazione assurda
(T/m)sen<(T-Mg)/M palesemente negativo perchè il peso di M è sicuramente maggiore della T. Quindi la conclusione è che si deve anche sollevare
In un primo tempo avevo pensato che data la differenza di massa, all'atto del rilascio praticamente la tensione era trascurabile e M si sarebbe mosso con acc. g......

[Flaffo]

Per Guido: è ovvio, data la relazione che è praticamente in caduta libera con accelerazione . Allora, anche deve avere accelerazione per la conservazione della corda. La tensione nella corda è trascurabile per ma per la massa produce, come detto prima, accelerazione .

Direi che la staffetta può andare a Captainjohncabot, che nonostante si sia complicato la vita nel risolvere il problema in quel modo, la sua soluzione è pur sempre giusta.

Vi invito a continuare la discussione per cercare una soluzione un po' più elegante-breve al problema.