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Nel 2002 un gruppo di fisici di Grenoble ha condotto degli esperimenti per studiare il comportamento dei neutroni in un campo gravitazionale. Nell'immagine trovate uno schizzo dell'apparato sperimentale, che consiste in uno specchio M orizzontale, su cui i neutroni rimbalzano elasticamente, un assorbitore A parallelo allo specchio, di lunghezza e posto a un'altezza e infine un rivelatore D, parallelo al campo gravitazionale terrestre. I neutroni vengono immessi in tale apparato a un'altezza qualsiasi compresa tra e e con una velocità verticale qualsiasi e con una velocità orizzontale costante. Quelli che raggiungono l'assorbitore vengono eliminati dall'esperimento (si faccia l'ipotesi che sia sufficientemente lunga da permettere l'assorbimento anche nel caso più sfavorevole).
Il rivelatore D registra il numero di neutroni incidenti su di esso per unità di tempo.

1. Calcolare in maniera classica , assumendo che tutti i valori di e siano equiprobabili, in funzione di , ovvero il numero di neutroni che entra nella cavità per unità di tempo, unità di velocità verticale e unità di altezza.

I dati sperimentali sono in disaccordo con la precedente previsione, poichè mostrano che cresce bruscamente ogni volta che vengono superate delle altezze critiche , ,...,. In altre parole, ci sono degli effetti quantistici non trascurabili nel moto dei neutroni. Tali effetti possono essere tenuti in considerazione tramite la quantizzazione dell'azione , ovvero l'integrale della quantità di moto verticale rispetto a uno spostamento infinitesimo lungo la verticale, calcolato lungo tutto il cammino. Deve quindi verificarsi:



Dove è un intero positivo e la costante di Planck.

2. Calcolare il valore più piccolo per cui si verifica un brusco incremento di .

BONUS: 3. Calcolare la minima lunghezza necessaria per osservare il primo incremento, se

Non sono sicuro di cosa voglia dire "il numero di neutroni che entra nella cavità per ... unità di velocità verticale", ma se la mia interpretazione è corretta, il risultato della prima richiesta potrebbe essere ?

La risposta è giusta, ora mancano l'ultimo punto e il procedimento e puoi continuare la staffetta

Per il secondo punto al momento sono un po' a corto di idee, perciò chi volesse provare provi pure, nel frattempo metto il procedimento del primo punto:
innanzi tutto non tutti i neutroni immessi ad una certa altezza arriveranno sul rivelatore, ma solo quelli che hanno un'energia tale da non superare mai l'altezza , perchè se la superano vengono assorbiti. L'energia dipende dalla velocità iniziale, e per la conservazione dell'energia si può scrivere:

cioè deve essere
-\sqrt{2h(H-h)}\leq v_{0,z} \leq \sqrt{2g(H-h)}
affinché i neutroni immessi all'altezza arrivino sul rivelatore.
Il numero di neutroni emessi per unità di tempo e d'altezza con una velocità lungo che soddisfa la condizione precedente è:

Però i neutroni vengono immessi con la stessa probabilità ad una qualunque altezza tra ed , quindi bisogna integrare lungo l'altezza:

Precisamente

Per il primo punto, beh, per fortuna lo ha scritto step98. Sto scoprendo scrivere con Latex una agonia. Indicherò con z quanto è stato indicato con h. Sperando che siano corretti, posto gli altri due punti:

2) Per avere informazioni sulla velocità e quindi sulla quantità di moto dei neutroni considerati nel limite non relativistico, consideriamo quelli aventi la velocità massima consentita, Applico direttamente la condizione sulla quantizzazione dell'azione (considerando che l'azione, per via del fatto che il neutrone considerato compie un certo tipo di moto da z a 0 e "rimbalzando" compie un percorso simmetrico al primo, vale il doppio di tale integrale) ottenendo: da cui Quella minima si avrà per .

3) Parodia delle tecniche di problem solving utili e sensate: Heisenberg supera bruscamente barriere invalicabili. Il principio di indeterminazione nella forma con e da cui: .
La lunghezza minima si ha nel caso di uguaglianza. L'H da considerare ha .

Commenti: l'eccitazione dovuta al punto 3) non mi farà dormire stanotte, come tutte le volte in cui riesci ad applicare furtivamente il principio di indeterminazione di Heisenberg. Il problema non è difficile, una volta che si è risolto. Prima è come brancolare nel buio. Ho notato che in alcuni problemi di questo tipo "combinando i dati" (no, non analisi dimensionale) si riesce ad arrivare a risposte corrette senza magari aver riflettuto sui fenomeni e processi coinvolti (che qui sono quasi sconosciuti: puoi provare quello che prova un fisico sperimentale in avanscoperta senza strumenti accurati, cosa molto in tema con il problema).

C'è una svista nel 2, correggi e la staffetta è tua. E ovviamente nel bonus dovrebbe essere

Ho corretto il typo e nel punto 2) ho fatto valere i miei precedenti dubbi sulla relazione tra l'azione e l'integrale del testo, sperando che adesso sia corretto

Tutto giusto, la staffetta è tua!